Tеорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Дано: ΔABC; AA 1, BB 1, CC 1 -медианы. Доказать: AA 1 BB 1CC 1 =O, AO:A 1 O=BO:B 1 O=CO:C 1 O=2:1. Доказательство: 1= 2, 3= 4 Δ ABO ~ ΔA 1 B 1 O. AB:A 1 B 1 =2AO:A 1 O=BO:B 1 O=2:1. Пусть BB 1 CC 1 =O 1, тогда: 5= 6, 7= 8 Δ CBO 1 ~ ΔC 1 B 1 O 1. CB:C 1 B 1 =2CO 1 :C 1 O 1 =CO 1 :C 1 O 1 =2:1. Из всего этого следует, что O совпадает с O 1, а значит AA 1 BB 1CC 1 =O, AO:A 1 O=BO:B 1 O=CO:C 1 O=2:1. A CB A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 O

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Дано: BAC; AM – биссектриса ( 1= 2); KM-перпендикуляр к AB; ML- перпендикуляр к AC. Доказать: KM=KL. Доказательство: AM – общая гипотенуза, 1= 2 Δ AKM= Δ ALM по гипотенузе и острому углу KM=KL. Tеорема. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Дано: BAC; KM-перпендикуляр к AB; ML- перпендикуляр к AC; KM=KL. Доказать: AM – биссектриса BAC. Доказательство: AM – общая гипотенуза, KM=KL Δ AKM= Δ ALM по гипотенузе и катету 1= 2, то есть AM – биссектриса BAC. A B C K L M 1 2

Oпределение. Серединный перпендикуляр-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. Tеорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Дано:O-середина AB, m–серединный перпендикуляр к AB, M принадлежит m. Доказать: AM=MB. Доказательство: 1)Если M совпадает с O, то AM=MB=AO=BO. 2)AO=OB – катеты, MO – общий катет ΔAMO=ΔBMO-по двум катетамAM=MB. Tеорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Дано:O-середина AB, m–серединный перпендикуляр к AB, AM=MB. Доказать: M принадлежит m. Доказательство: 1)Если M лежит на AB, то AM=MB=AO=BO, и M принадлежит m. 2)AM=MB ΔAMB-равнобедренныйMO-медиана и высота ΔAMBMO совпадает с m, и M принадлежит m. O BAMm OB A M m

Tеорема Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: Δ ABC, AA 1, BB 1, CC 1 – биссектрисы Δ ABC. Доказать: AA 1 BB 1 CC 1 = O. Доказательство: Пусть AA 1 BB 1 = O, тогда если OK, OM, OL – перпендикуляры из O к сторонам Δ ABC, то OK=OM, OK=OL – по свойству биссектрисы неразвернутого угла OL=OM O равноудалена от сторон угла АСВ, и значит, лежит на биссектрисе СС 1 этого угла AA 1 BB 1 CC 1 = O.

Tеорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Дано: Δ ABC, m-серединный перпендикуляр к AB, n-серединный перпендикуляр к BC, p-серединный перпендикуляр к AC. Доказать:m n p = O. Доказательство: m n =O, т.к. если предположить, что m параллельна n, то m перпендикулярна BC, и через B проходят 2 прямые AB, BC, перпендикулярные к m, чего не может быть. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку, OA=OB, OB=OC OA=OC O лежит на серединном перпендикуляре к AC, т.е. на p m n p=O.

Tеорема. Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Дано: Δ ABC, AA 1, BB 1, CC 1 – высоты Δ ABC. Доказать: AA 1 BB 1 CC 1 = O. Доказательство: Проведем через каждую вершину Δ ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим Δ A 2 B 2 C 2. A 2 C=B 2 C, B 2 A=C 2 A, A 2 B=C 2 B и по построению AA 1, BB 1, CC 1 - перпендикуляры к сторонам Δ A 2 B 2 C 2 AA 1, BB 1, CC 1 - серединные перпендикуляры к сторонам Δ A 2 B 2 C 2 AA 1 BB 1 CC 1 = O.

Сегодня на уроке мы исследовали четыре замечательных точек треугольника. Доказали свойство биссектрисы угла, серединного перпендикуляра, а так же доказали теоремы о высотах и медианах в треугольнике.