Модель: Y = X + u Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ СВЯЗАННЫХ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ РЕГРЕССИИ Проверка нулевой гипотезы, что 2 = 2 0 или альтернативной гипотезы.

Модель: Y = X + u Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: Пример модели: p = w + u Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: 4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ СВЯЗАННЫХ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ РЕГРЕССИИ Пример: Темпы общей инфляции в зависимости от темпов роста заработной платы.

6 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 ) b2b Если нулевая гипотеза истинна, то предположим, что регрессионный коэффициент b 2 будет иметь распределение симметричное относительно 1.0 со стандартным отклонением 0.1.

6 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 ) b2b2 Предположим, что стандартное отклонение (sd) известно sd 2 +2sd 2 -sd 2 -2sd 2 +3sd 2 -3sd 2 -4sd 2 +4sd

9 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Предположим, что оценка коэффициент уравнения инфляции b 2, равна 0.9. Противоречит ли это нулевой гипотезе 2 = 1.0? По-видимому нет, т.к. 0,9 близка к 1.0 и находится в пределах 1 стандартного отклонения. Вероятность появления оценки в пределах 1 с.о. 68,3% (вне 31,7%) b2b2 Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 )

14 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Предположим, что оценка равна 1.4. Противоречит ли это нулевой гипотезе?. Эта оценка находится в пределах 4 с.о., вероятность подобного равна 0.006% b2b2 Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 )

14 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Пусть оценка равна Противоречит ли это нулевой гипотезе?. Эта оценка находится в пределах 2-3 с.о. Есть две возможности: первая – нулевая гипотеза верна, и вторая – нет и рост инфляции не определяется ростом зарплаты b2b2 Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 )

6 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 ) b2b2 Обычная процедура принятия решений: гипотеза отбрасывается, если вероятность ее меньше порогового значения (5% или 1%). Вычисление НОРМРАСП и НОРМОБР sd 2 +2sd 2 -sd 2 -2sd 2 +3sd 2 -3sd 2 -4sd 2 +4sd

21 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Например, можно предположить, что гипотеза отбрасывается при пороге вероятности меньшим чем 0.05 (5%). 2.5% хвосты – это 1,96 стандартного отклонения. 2.5% b2b sd 2 +2sd 2 -sd 2 -2sd 2 +3sd 2 -3sd 2 -4sd 2 +4sd Плотность вероятности b 2 Распределение b 2 для истинной нулевой гипотезы H 0 : 2 =1.0 (стандартное отклонение 0.1 )

2.5% 23 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ По этому правилу первая оценка 2 равная 0,9 не противоречит нулевой гипотезе b2b2 Плотность вероятности b 2

2.5% 23 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Вторая оценка 2 равная 1.4 противоречит нулевой гипотезе b2b2 Плотность вероятности b 2

2.5% 23 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Третья оценка 2 равная 0,77 так же противоречит нулевой гипотезе b2b2 Плотность вероятности b 2

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 2.5% Правило (5% уровень): отклонить (1) если (2) если (1) если z > 1.96 (2) если z < Плотность вероятности b 2 b2b sd sd sd 2 +sd 0000 H 0 отклоняется если значение оценки больше 1.96 (положительное или отрицательное). 29

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 2.5% Правило (5% уровень): отклонить (1) если z > 1.96 (2) если z < Плотность вероятности b 2 b2b sd sd sd 2 +sd 0000 Область принятия гипотезы H Область принятия b 2 :

2.5% 36 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Область принятия гипотезы для b 2 в интервале от до Р( b 2 ) b2b2 Правило 5%: отвергнуть (1) если(2) если Допустимая область b 2 :

37 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Уровень значимости 2,5%. Вероятность отбросить верную гипотезу меньше 5%. 2.5% Ошибки I вида: отбрасывание H 0 когда она верна. отбрасывание плотность b 2 b2b sd sd sd 2 +sd 0000 Область принятия для b 2

42 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Область принятия при хвостах меньших 0.5%. Вероятность отбросить верную гипотезу H 0 меньше 1%. Порог 2,58 sd. Область принятия от до % Плотность вероятности b 2 b2b sd sd sd 2 +sd 0000 отказпринятие b 2 отказ

47 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Если гипотеза H 0 отвергается на 1% уровне, то необходимо отбросить ее и на 5%. Если гипотеза H 0 принимается на 5%, то она принимается и на 1% уровне. 0.5% Сравнение 5% и 1% области принятия 5%: < z < %: < z < % level 1% level Плотность вероятности b 2 b2b sd 2 +2sd 2 -sd 2 -2sd 2 +3sd 2 -3sd 2 -4sd 2 +4sd

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Принятие решений на 5% и 1% уровне. 49 Отказ H 0 на1% ур. (и на 5% уровне) Отказ H 0 на 5% ур. Но не на 1% ур. Отказ H 0 на 5% ур-не но не на 1% ур. Отказ H 0 на 1% уровне (и на 5% ур-не) Принятие H 0 на 5% ур. (или на 1% ур.) Инфляция/ зарплата Общий случайРешение

2 2 +sd 2 -sd ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень Гипотетическое распределение Принятие b b2b sd sd 2.5% Ошибка I типа – отказ от H 0, когда она истинна. Ошибка II типа – отказ от H 1, когда она истинна. На графике риск ошибки I типа меньше 5%. 2

2 2 +sd sd 2 -sd sd 0.5% ОШИБКИ I и II ТИПА 5% level 1% level Гипотетическое распределение для Область принятия b Используя 1% тест, вместо 5% теста, можно уменьшить ошибку I типа до 1%, если гипотеза H 0 верна. Если гипотеза H 0 ложна, то чем шире область принятия, тем больше вероятность ошибки II рода. Диаграмма распределения b 2 в действительности не известна. 5 b2b2

2 0.5% Область принятия для b 2 ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень 1% уровень Действительное распределение для b2b2 2 +2sd 2 +sd 2 2 -sd 2 -2sd Предположим, что H 1 : 2 = 2 1 истинна и распределение b 2 соответствует правой кривой. 8 Гипотетическое распределение для

2 0.5% Область принятия для b 2 ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень 1% уровень Действительное распределение для b2b2 2 +2sd 2 +sd 2 2 -sd 2 -2sd Для приведенного значения b 2 следует отвергнуть гипотезу H 0, т. К. она не соответствует ни 5%, ни 1% тесту. 8 Гипотетическое распределение для

2 0.5% Область принятия для b 2 ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень 1% уровень Действительное распределение для b2b2 2 +2sd 2 +sd 2 2 -sd 2 -2sd В этом случае можно совершить ошибку II рода, приняв гипотезу H 0, не соответствующую истине при любых порогах значимости. 8 Гипотетическое распределение для

2 0.5% Область принятия для b 2 ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень 1% уровень Действительное распределение для b2b2 2 +2sd 2 +sd 2 2 -sd 2 -2sd В случае этой оценки можно принять правильное решение при 5% пороге, но совершить ошибку II рода при 1 % пороге. 8 Гипотетическое распределение для

2 0.5% Область принятия для b 2 ОШИБКИ I и II ТИПА 5% уровень 1% уровень Действительное распределение для b2b2 2 +2sd 2 +sd 2 2 -sd 2 -2sd Области совершения ошибки II рода при принятии гипотезы H 0 при 5% пороге и 1 % пороге. 1% тест увеличивает вероятность ошибки II рода. Проблема в том, что априори неизвестно истинна H 0 или нет. Какой тест предпочесть в таких условиях? В случае уверенности на основании априорной информации в истинности H 0 следует использовать 1% тест, в случае уверенности в истинности H 1 использовать 5% тест. 8 Гипотетическое распределение для