Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентной модели типа «реакция-диффузия» Борина М.Ю., Полежаев А.А. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

Цель работы выполнить линейный анализ математической модели описания трехкомпонентных систем определить качественные свойства, которыми должна обладать система для того, чтобы в ней могла произойти тьюринговская или волновая бифуркации выделить области в параметрическом пространстве, отвечающие существованию той или иной бифуркации показать, что если система обладает соответствующими свойствами, в ней возникают структуры, которые согласуются с предсказаниями линейного анализа и которые сходны тем, что наблюдаются в экспериментах 1 Провести исследование возникновения диффузионной неустойчивости в трехкомпонентной модели типа «реакция-диффузия» 2 1 Ванаг В.К. // УФН, 2004, т , с

Линейный анализ трехкомпонентной системы Здесь f, g, h – нелинейные функции, описывающие взаимодействие переменных; D 1, D 2, D 3 – коэффициенты диффузии; a ij (i, j=1,2,3) – постоянные коэффициенты, равные соответствующим частным производным, вычисленным в стационарной точке; - малые отклонения от положения равновесия u 0, v 0 и w 0 соответственно. 3

Характеристическое уравнение 4

Однородное состояние системы устойчиво, если 5 Если нарушается бифуркация Тьюринга волновая бифуркация Если нарушается

Условия возникновения бифуркации Тьюринга 6

Условия возникновения волновой неустойчивости 7

Параметры, влияющие на структурообразование, – числовой множитель μ, константы скоростей a, b, c, d, и коэффициенты диффузии D 1, D 2, D 3. Модифицированный «Брюсселятор» 8

9 Параметрическое пространство и дисперсионные кривые модели « Брюсселятор » Параметрическое пространство и дисперсионные кривые модели « Брюсселятор » Области Ω 1 (бифуркация Тьюринга), Ω 2 (волновая бифуркация), Ω 1Ω 2 (волновая и тьюринговская бифуркации одновременно). Параметры модели: a=3, b=4, c=2, d=7.5, D 1 =1, D 3 =50, (1) D 2 =19; (2) D 2 = 12; (3) D 2 = 6. D2D2 Ω2Ω2 d Ω1Ω1 Ω 1Ω d= k k k D2D2 D2D2 D2D2 D2D2

Параметры модели: a=3, b=4, c=2, d=7.5, D 1 = 1, D 2 =11.2, D 3 =50. Размер области 9x9. 10

11

Параметры модели: a=3, b=4, c=2, d=7.5, D 1 = 1, D 2 =11.2, D 3 =50. Размер области 300x

13

Параметры модели: a=3, b=4, c=2, d=7.5, D 1 = 1, D 2 =12, D 3 =50. Размер области 150x

15

Параметры модели: a=3, b=4, c=2, d=5.64, D 1 = 1, D 2 =11.38, D 3 =50. Размер области 150x

Заключение 17 Для возникновения бифуркации Тьюринга в трехкомпонентной сис- теме типа «рекация-диффузия» необходимо наличие автокатализа. При этом автокаталитическая переменная должна иметь меньший коэффициент диффузии. Для возникновения волновой бифуркации требуется, чтобы система содержала автокаталитическую переменную, и сумма двух членов на главной диагонали матрицы линеаризации была положительной (при этом сумма всех трех членов отрицательна). Кроме того, необхо- димо, чтобы коэффициент диффузии переменной, соответствующей наименьшему члену на главной диагонали, был существенно больше двух других. Для возникновения волновой бифуркации требуется, чтобы система содержала автокаталитическую переменную, и сумма двух членов на главной диагонали матрицы линеаризации была положительной (при этом сумма всех трех членов отрицательна). Кроме того, необхо- димо, чтобы коэффициент диффузии переменной, соответствующей наименьшему члену на главной диагонали, был существенно больше двух других. Условия тьюринговской и волновой неустойчивостей не противоречат друг другу и могут выполняться одновременно. При этом бифуркации будут происходить в различных непересекающихся диапазонах волновых чисел.