Алгебра логики

- наука об общих операциях над высказываниями, позволяет определить его значение, отвлекаясь от содержания Алгебра логики Алгебра высказываний, булева алгебра

Элементы алгебры логики - это логическое действие над логическими переменными Логические переменные Логические операции

Элементы алгебры логики - это простое высказывание, содержащее одну мысль - обозначаются буквами латинского алфавита - имеет значение ИСТИНА или ЛОЖЬ (1 или 0). Логические переменные Например: А= «Два умножить на два равно четырем» А=1 B= «Два умножить на два равно пяти» B=0

Элементы алгебры логики - это логическое действие над логическими переменными Логические операции Логическое умножение Логическое сложение Логическое отрицание Логическое следование Логическое равенство базовые

Конъюнкция (от лат. Conjunctio – связываю) Логические операции Название Логическое умножение Обозначение А·B или А&B или А^B Графическое изображение Союз в естественном языке А и В Примеры А= «Число 10 - четное» В=«Число 10 - отрицательное» «Число 10 – четное и отрицательное» Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний Вывод: Результат будет истинным только тогда, когда исходные высказывания истинны Значение примера«Число 10 – четное и отрицательное» - ЛОЖЬ АВА&B АВ

Дизъюнкция (от лат. Disjunctio – различаю) Логические операции Название Логическое сложение Обозначение А+B или АνB Графическое изображение Союз в естественном языке А или В Примеры А= «Число 10 - четное» В=«Число 10 - отрицательное» «Число 10 – четное или отрицательное» Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний Вывод: Результат будет ложным только тогда, когда все исходные высказывания ложны Значение примера«Число 10 – четное или отрицательное» - ИСТИНА АВА+B А В

Инверсия (от лат. Inversio – переворачиваю) Логические операции Название Отрицание Обозначение ¬А¬А Графическое изображение Союз в естественном языке не А Примеры А= «Число 10 - четное» В=«Число 10 - отрицательное» «Неверно, что число 10 – четное» «Неверно, что число 10 – отрицательное» Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний Вывод: Результат будет ложным, если исходное высказывание истинно, и наоборот Значение примера«Неверно, что число 10 – четное» - ЛОЖЬ «Неверно, что число 10 – отрицательное» - ИСТИНА А¬ А А ¬А¬А

Импликация (от лат. Implicatio – тесно связывать) Логические операции Название Логическое следование ОбозначениеАB А – условие (посылка) В – следствие Союз в естественном языке Если А то И; Когда А, то тогда В; Коль скоро А, то и В Примеры А= «Число 10 - четное» В=«Число 10 - отрицательное» «Если число 10 – четное, то оно является отрицательным» Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний Вывод: Результат будет ложным только тогда, когда из истинной посылки следует ложное следствие Значение примера«Если число 10 – четное, то оно является отрицательным» - ЛОЖЬ АВАB

Эквивалентность (от лат. Aequivalens – равноценное) Логические операции Название Логическое равенство ОбозначениеА B или А B А – условие (посылка) В – следствие Союз в естественном языке А тогда и только тогда, когда В Примеры А= «Число 10 - четное» В=«Число 10 - отрицательное» «Число 10 – четное, тогда и только тогда, когда оно отрицательно» Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний Вывод: Результат будет истинным только тогда, когда простые высказывания одновременно либо ложны, либо истинны Значение примера«Число 10 – четное, тогда и только тогда, когда оно отрицательно» - ЛОЖЬ АВА B

Элементы алгебры логики Логические операции Порядок логических операций по убыванию старшинства следующий: 1)действия в скобках 2)отрицание (НЕ) 3)конъюнкция (И) 4)дизъюнкция (ИЛИ) 5)импликация ( ) 6)эквивалентность ( )

Элементы алгебры логики - это составное высказывание, выраженное в виде формулы, в которую входят логические переменные, соединенные логическими операциями Логическое выражение Например: А & B ^ (C+A)

Пример 1 Запишите в виде логического выражения логическое высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку» Решение: 1) Выделим простые высказывания в составном высказывании и обозначим их: А = Петя поедет в деревню В = Будет хорошая погода С = Петя пойдет на рыбалку 2) Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F = A & (BC) Ответ: F = A & (BC)

Элементы алгебры логики - содержит несколько простых мыслей, соединенные логическими операциями - обозначается F ( лог.переменные ) - имеет значение ИСТИНА или ЛОЖЬ (1 или 0). Логическая функция Например: F (A,B,C) = А & B ^ (CA)

Пример 2 Определите значение логической функции: F = A & (BC) Логические переменные имеют следующие значения: А= 1, В = 1,С = 0. Решение: 2) Расставим порядок действий: 3) Вычислим значение, используя таблицу истинности: 1) (10)= 0 2) 1 & 0 = 0 Ответ: F = 0 21 F =1&(1(10)0) 1) Сделаем подстановку: F = A & (BC) = 1 & (10)

Домашнее задание 1 Определите истинность высказывания: «Неверно, что приставка пишется раздельно со словом, и она не есть часть слова, или суффикс есть часть предложения, и он стоит перед корнем».