МОУ «СОШ 2 г.Нариманов»

V = a x b x Ф(x) x =a x x x x b = x x Ф(x ) Ф(x ) Основная формула для вычисления объемов i-1 I n 1 2 I n

Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. x A A2A2 A1A1 C2C2 C1C1 B B2B2 B1B1 O x h Дано: треуг. призма, объем = V, площадь основания = S, высота h. Док – ть:V = S*h Док – во: пусть т.O є ABC, OXABC, проведем сечение пл – тью A 1 B 1 C 1 OX и => A 1 B 1 C 1 ABC X - пересечение A 1 B 1 C 1 c OX, S(x) - площадь сечения A 1 B 1 C 1 = ABC => S(x) = S. C V = S(x)dx = S dx = S dx = S*x = S*h h h 0 0

S3S3 S1S1 S2S2 h V = (S1+S2+S3)h = Sh

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту h M x A1A1 C1C1 C M1M1 A B1B1 B O OA 1 OM 1 x OA OM h Дано: треуг. пирамида OABC, объем = V, площадь осн. - S, высота h Д – ть: V = S*h Д – во: проведём ось Ox, OM - высота пирамиды, сечение A 1 B 1 C 1 Ox и => A 1 B 1 C 1 ABC, x - пересечение A 1 B 1 C 1 с осью Ox, S(x) - площадь сечения. A 1 B 1 AB, поэтому O A 1 B 1 ~OAB => = A 1 B 1 OA 1 AB OA Прямоугольные OA 1 M 1 ~ OAM (имеют общий угол O). Поэтому = =. Таким образом, =. Так же доказывается, что = и = => A 1 B 1 C 1 ~ ABC с коэффициентом подобия.=> S(x) = x. A 1 B 1 x AB h B 1 C 1 x OM h C 1 A 1 x CA h x h S h 2 2

S1S1 S2S2 S3S3 h V = S(x)dx = x dx = x dx = =S*h h h 0 0 S h S h S h x V = (S 1 +S 2 +S 3 )h =S*h Следствие: Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади oснований равны S и S 1, вычисляется по формуле V = h(S + S 1 + S*S 1 )

Теорема: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Дано: конус, объем = V, радиус oснования = R, высота = h, O - вершина Д – ть:V = S*R Д – во: введем ось Ox (OM - ось конуса).Произв. сечение конуса пл - тью, перпенд. к оси Ox, явл. кругом с центром в точке M1 пересечения этой пл – ти с осью Ox. Радиус этого круга R1, а площадь сечения S(x), гдеx - абсцисса точки M1.Из подобия прямоуг. OM1A1 и OMA следует, что OM 1 R 1 OM R x R 1 h R =, или =, откуда R 1 = x. Так как S(x) = П R 1, то S(x) = x. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h, получаем R h 2 П R h V = x dx = x dx = = П R*h h h h П R h П R h П R h x M1M1 O h x x R M A A1A1 R1R1

O1O1 P h r O A A1A1 r1r1 Следствие: Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S 1, вычисляется по формуле V = h(S + S 1 + S*S 1 )