Н АХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Учитель математики КОУ «Заливинская СОШ» Зубкова Екатерина Михайловна

Ц ЕЛЬ ЗАНЯТИЯ : решение задач на нахождение точек максимума и минимума; решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции; решение задач на исследование функций без помощи производной. 2

Н А ДАННОМ ЗАНЯТИИ МЫ РАССМОТРИМ : исследование степенных и иррациональных функций; исследование рациональных функций; исследование произведений и частных; исследование логарифмических функций; исследование тригонометрических функций. 3

П РАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4

Т АБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 5

Функция y = f(x) принимает на множестве Х наименьшее значение в точке x 0, если x 0 принадлежит Х и f(x 0 ) f(x) для всех x из Х. Функция y=f(x) принимает на множестве Х наибольшее значение в точке x 0, если x 0 принадлежит Х и f(x 0 ) f(x) для всех x из Х. 6

Наибольшее значение функции на отрезке[а;b] называют максимумом функции на данном отрезке. Наименьшее значение функции на отрезке [а;b] называют минимумом функции на данном отрезке. Точку отрезка [а;b], в которой функция достигает максимума (минимума) на этом отрезке называют точкой максимума (минимума). Значение функции в этой точке – максимум (минимум) функции на отрезке. 7

Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f(x) на этом отрезке. Стационарные точки функции - точки в которых производная равна нулю. Если производная функции на интервале (a;b) положительна, то функция y=f(x) возрастает на данном интервале. Если производная функции на интервале (a;b) отрицательна, то функция y=f(x) убывает на данном интервале. 8

П РИЗНАКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 9 Признак максимума: если функция f(x) непрерывна в точке x 0, производная положительна на интервале (a;x 0 ) и производная отрицательна на интервале (x 0 ; в), то х 0 – точка максимума функции f(x) (упрощенная формулировка: если в точке x 0 производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума). Признак минимума: если в точке x 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x 0 – точка минимума.

А ЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК МАКСИМУМА ( МИНИМУМА ) ФУНКЦИИ 1. Находим ООФ. 2. Находим производную функции f (x). 3. Находим нули производной (их ещё называют стационарными точками) путём приравнивания производной к нулю f (x)=0, решаем полученное уравнение. 4. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах, путём подстановки значений из интервалов в выражение производной. 5. Далее делаем вывод. 10

А ЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ИЛИ НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ : находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а, в]; находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку; вычисляем значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а, в]; из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции. 11

D C а b y наиб. y наим. 12 В А аb y наиб. y наим. Если уравнение f(x)=0 не будет иметь решения или на заданном отрезке нет точек экстремума, это значит, что на этом промежутке производная принимает значения одного знака, т.е функция является монотонной на нём.

I. И ССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Задача 1. Найти точку максимума функции Решение 1. ООФ: x Находим производную функции: 3. Находим критические точки: 13

4. Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. 09 x -+ y y max Ответ: 9 14

II. И ССЛЕДОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Задача 2. Найти точку минимума функции 15 Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции:

3. Находим критические точки: Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. y 1 x -+ y maxmin + Искомая точка минимума х=1. Ответ: 1.

III. Л ОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задача 3. Найти наибольшее значение функции 17 Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции: 3. Находим критические точки:

18 4. Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: y -4,5 -4 x - y max + 0

5. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку. 19 Ответ: 20.

IV. Т РИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задача 4. Найти наименьшее значение функции Найдем производную 2. Найдем критические точки Решение

3. Найдем значение функции на концах отрезка 21 Ответ: наименьшее значение способ. Производнаявсегда, следовательно функция возрастает на заданном отрезке, следовательно наименьшее значение функция будет принимать в нуле.

Задача 5. Найти наибольшее значение функции Найдем производную функции 2. Найдем критические точки 3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках Ответ: 1.

V. И ССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ЧАСТНЫХ Задача 6. Найти точку минимума функции 23 Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции: 3. Находим критические точки:

4. Определим знаки производной функции и изобразим на числовой оси: x - + y y max + min Ответ: 2.

VI. И ССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ БЕЗ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ Задача 7. Найти точку минимума функции 25 Решение. Функция График – парабола. Так как а=1>0, то ветви параболы направлены вверх. Минимум в точке Функция вида возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в котором достигает минимума подкоренное выражение. Ответ: 3.

Р ЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найдите наибольшее значение функции Ответ: Найти наименьшее значение функции Ответ: Найти точку минимума функции Ответ: Найти точку максимума функции Ответ: 0,5. 26

27 Спасибо за внимание!