2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; тел. моб.: СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

прочитанных лекций и темы рефератов Презентации прочитанных лекций и темы рефератов можно скачать по адресу : Книги: Блохинцев, Давыдов, Карлов, Ландау, Левич, Шифф можно скачать с моего обменника

ОБЪЯВЛЕНИЯ 1.Для допуска к зачету представляется реферат, содержащий: Ф.И.О. студента, номер группы, заголовок (текст вопроса), текст ответа (если надо, с формулами и рисунками). 2.Способ подачи реферата - лично (на лекции) или по электронной почте на адрес: Мои координаты: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; моб ; Объем реферата не должен превышать 4-5 страниц!! Срок представления НЕ ПОЗЖЕ, ЧЕМ 13 МАЯ !! Форма представления – документ WORD (желательно -.doc), или.PDF, или рукопись.

Из прошлой лекции

Матричная формулировка квантовой механики. Основы теории представлений Совокупность c n есть в «Е» - представлении, а совокупность b n есть, также в «Е» - представлении. Оператор L производит из новую функцию, а вместе в этим из c n новые амплитуды b n. Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал b n через c n, то тем самым, найдем оператор L в «Е» - представлении. Для этого подставим (3) и (2) в (1). Получим: Умножая (4) на * m (x) и интегрируя по всему пространству x, получим, с учетом ортогональности n (x) :

Зная все величины L mn, можно найти все амплитуды b n, а тем самым функцию в «Е» - представлении по заданным c n (т.е. функции в «Е» - представлении. Поэтому совокупность всех величин L mn следует рассматривать, как оператор L в «Е» - представлении. Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы, имеющей, вообще говоря, бесконечное число строк и столбцов: Такая таблица называется матрицей, а величины L mn матричными элементами. Каждый матричный элемент имеем два индекса – номер строки и номер столбца. Другие часто встречающиеся обозначения матричных элементов:

В квантовой механике чаще всего имеют дело с эрмитовыми и унитарными матрицами бесконечного ранга. Матрица называется эрмитовой или самосопряженной, если она равна своей эрмитово сопряженной матрице. Матрица A+ называется эрмитово сопряженной с A, если она получена из A заменой строк на столбцы и всех матричных элементов на комплексно сопряженные им величины. Матрица называется унитарной, если эрмитово сопряженная с ней матрица равна обратной. Обратная матрица A -1, определяется соотношениями Из матричной алгебры (напоминание)

Любую эрмитову матрицу можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования. Следствие: собственные значения эрмитовой матрицы определяются однозначно. Чтобы две эрмитовы матрицы можно было диагонализовать с помощью одного и того же унитарного преобразования, необходимо и достаточно чтобы эти матрицы коммутировали, т.е. Собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Что обязательно понадобится в дальнейшем

Лекция 8

Матрицы в квантовой механике

Ранее мы писали волновое уравнение Шредингера и искали его решения для некоторых случаев, представляющих физический интерес. Рассмотрим другую формулировку квантовой механики, в которой динамические переменные (координаты, импульс, энергия и т. д.) явно входят в уравнения движения. Такую же структуру имеют и классические уравнения движения; поэтому можно ожидать более тесного соответствия между классическим и квантовым формализмом, чем в теории Шредингера. Главное формальное отличие от классической механики заключается в том, что квантовые динамические переменные не подчиняются коммутативному закону умножения. Подобные некоммутативные динамические переменные, зачастую называемые просто операторами, удобно представлять в виде матриц. Исторически именно матричная форма была первой формулировкой квантовой теории, данной в 1925 г. Гейзенбергом. Матрицы в квантовой механике

Запишем стационарное уравнение Шредингера в следующем виде где индексом k обозначены различные собственные функции оператора энергии, образующие полную ортонормированную систему. Оператор энергии (гамильтониан) есть Пусть имеется вторая полная ортонормированная система функций (не обязательно собственные функции нашего уравнения Шредингера). Разложим ее по первой системе: Матрицы в квантовой механике

Из ортонормированности функцийследует, что Обратное разложение ( u k по v n ) имеет вид Используя условия полноты, можно показать, что определенная таким образом матрица преобразования является унитарной, т.е.

Вычислим матрицу оператора энергии с помощью некоторого полного набора ортонормированных функций Рассмотрим связь между этой матрицей в v-представлении и собственными значениями оператора энергии E k. Для этого преобразуем матрицу H nm с помощью унитарной матрицы S. Матрица энергии

Используя условие полноты набора функций, получаем Мы получили элементы диагональной матрицы с собственными значениями E k. Таким образом, решение уравнения Шредингера полностью эквивалентно диагонализации матрицы энергии, выраженной в некотором произвольном представлении. А) Собственные значения матрицы оператора энергии и собственные значения уравнения Шредингера совпадают. Б) Собственные функции уравнения Шредингера получаются с помощью унитарного преобразования S При этом произвольную динамическую переменную, допускающую физическое измерение, можно представить эрмитовой матрицей.

Будем исходить из уравнения Шредингера Матрицу, представляющую произвольную функцию F динамических переменных, можно выразить с помощью полной ортонормированной системы функций, зависимость от времени которых определяется уравнением Шредингера. Уравнение движения в матричной форме

Обозначим какие-либо две функции из этой системы буквами и, и вычислим производную от времени от матричного элемента Получаем

Выражение в круглых скобках – коммутатор. Последняя строка получены с использованием тождества и эрмитовости Гамильтониана ( см. книгу ШИФФА, глава VI, параграф 23 ). (1)

Поскольку и в любой момент времени произвольны, из (1а) следует уравнение движения для динамической переменной F в представлении Гейзенберга (1a) Таким образом:

Если гамильтониан явно не зависит от времени, то временная зависимость волновых функций дается выражением и, если к тому же и F не зависит явно от времени, то то есть мы получили уравнение движения для оператора F, годное для конкретных вычислений :

В квантовой механике коммутаторы операторов принято обозначать квадратными скобками Поскольку коммутатор является оператором, то для его вычисления нужно подействовать коммутатором на какую-либо функцию, например, Отсюда следует, что Квантование классической системы. Коммутаторы.

Аналогично можно вычислить другие важные коммутаторы, такие как Квантование классической системы Для перехода к квантовому описанию любой классической системы нужно (рецепт без подробностей) * : –сначала записать классическую функцию Гамильтона и уравнения движения в некоторой системе канонических переменных q i, p i (обобщенные координаты и импульсы), –затем предположить, что канонические переменные удовлетворяют условиям квантования т.е. заменить классические скобки Пуассона коммутаторами. * подробности Лагранжева формализма в классической механике см. в [4,5].

Пример применения этого правила к задаче о движении свободной частицы. Классическая функция Гамильтона, выраженная через канонические переменные r, p, имеет вид Используя уравнение движения в представлении Гейзенберга можно вычислить и сравнить с классическим выражением.

Шаг 1. Доказать, что коммутаторы произвольной функции координат и оператора импульса, а также квадрата оператора импульса имеют вид Применить это правило к оператору координаты r. Шаг 2. Используя правила коммутации операторов, показать, что уравнение для r приводится к виду Тренировка мозгов (разобраться самим) Шаг 5. Если возникнут затруднения, см. книгу ШИФФА, глава VI, параграф 23

Теория возмущений

Уравнения движения решаются точно лишь для небольшого числа физически интересных систем. В остальных случаях используются приближенные методы. При этом точные решения используются в качестве исходного приближения. В задачах квантовой механики часто фигурируют величины, значения которых сильно (на порядки) различаются. Среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача решается точно. Теория возмущений

В этом случае решение физической задачи состоит из двух шагов: А) Точное решение упрощенной задачи; Б) Приближенное вычисление поправок, обусловленных малыми величинами, отброшенными в упрощенной задаче. Теория возмущений Общий метод вычисления поправок называется теорией возмущений.

Пусть гамильтониан физической системы имеет вид: где V – малая поправка (возмущение) к невозмущенному оператору H 0. Предположим, что V и H 0 не зависят явно от времени. Сформулируем теорию возмущений для систем с дискретным энергетическим спектром. Возмущения, не зависящие от времени

Будем считать, что невозмущенный оператор H 0 обладает известными дискретными собственными значениями E n (0) и принадлежащими им собственными функциями n (0). Таким образом мы считаем, что первый шаг (А) уже сделан, т.е. упрощенная задача на собственные значения уже точно решена. Требуется найти приближенное решение уравнения т.е. приближенные выражения для собственных значений E n и собственных функций n возмущенного оператора H. (1)

Предположим вначале, что все собственные значения H не вырождены. Вычисления удобно проводить в матричном виде. Для этого разложим функцию по функциям n (0) Подставляя это разложение в уравнение (1): получим Умножим обе части этого равенства на k (0)* и проинтегрируем по всему пространству.

В результате получим Здесь введена матрица V km оператора возмущения V, определенная с помощью невозмущенных функций m (0) : Будем искать значения c m и E в виде рядов (2)

При этом будем считать, что величины c m (1), E (1) – того же порядка малости, что и возмущение V, величины c m (2), E (2) – следующего (второго) порядка малости и т.д. Найдем поправки к n -му собственному значению и собственной функции, полагая, что Для отыскания первого приближения подставим в значения

В результате получим Сохраним слева и справа величины первого порядка малости. Тогда т.е. поправка первого приближения к собственному значению E n (0) равна среднему значению возмущения в состоянии n (0). Теперь нужно найти поправку первого порядка к n -ой собственной функции.

Уравнение с k, отличающимся от n, дает Оставляя слева и справа члены первого порядка малости, получаем Коэффициент c n (1) остается произвольным, и должен быть выбран из условия нормировки функции на единицу (с точностью до первого порядка включительно).

Можно показать, что коэффициент c n (1) можно выбрать равным нулю. Для этого достаточно показать, что интеграл от квадрата модуля функции n отличается от единицы на величину второго порядка малости. (ПОПЫТАТЬСЯ ПОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО!) Штрих у знака суммы означает, что в сумме отсутствует член с m, равным n, т.е. c n (1) = 0. Из выражения для первой поправки к собственной функции следует условие применимости теории возмущений То есть матричные элементы оператора V должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных энергий.

Оставляя слева и справа члены второго порядка получим Используя значения c n (0) и c m (1), полученные ранее, находим Из этого выражения следует, что поправка второго приближения к основному состоянию (с самой низкой энергией) всегда отрицательна. Действуя аналогично, можно получить поправки второго порядка. Найдем поправку второго порядка к собственному значению E n (0). Для этого подставим в при k = n следующие разложения

Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенный оператор H 0 имеет вырожденные собственные значения Будем обозначать символами собственные функции, относящиеся к одному и тому же собственному значению E n (0). Выбор этих функций неоднозначен – вместо приведенных выше, можно выбрать любые s независимых линейных комбинаций этих функций ( s – кратность вырождения). Этот выбор перестает быть произвольным, если потребовать, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым. (3) Вырожденные состояния

Если считать, что произвольные невозмущенные функции, то правильные функции нулевого приближения можно представить как Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправками первого приближения к собственным значениям, следующим образом. Вспомним, что (2)

Выписываются s уравнений (2) с k = n, n, n,… и в них в первом приближении подставляются В этих уравнениях для величин c k достаточно ограничиться нулевым приближением Тогда получим или (4)

Это система s однородных линейных уравнений, имеющая нетривиальные решения, если ее определитель равен нулю Этот определитель – уравнение s -й степени по E (1). Оно имеет, вообще говоря, s различных корней, которые и есть поправки первого приближения к собственным значениям. Подставляя поочередно корни уравнения (5) в систему (4) и решая ее, найдем коэффициенты c n (0) и определим таким образом правильные собственные функции нулевого приближения. (5) В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии расщепляется (вырождение снимается). Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным.

Литература к лекции 8 1.В.Г. ЛЕВИЧ, Ю.А. ВДОВИН, В.А. МЯМЛИН, КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2, часть V (Квантовая механика), гл. II, IV, М.: ГИФМЛ, А.С. ДАВЫДОВ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, М.: Наука, Д.И. БЛОХИНЦЕВ, ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, Высшая школа, М., Л. ШИФФ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, М.: ИЛ, Л.Д. ЛАНДАУ, Е.М. ЛИФШИЦ, МЕХАНИКА (Т.1), Физматлит, 1963, 1988, В.Н. СМИРНОВ, КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ, т.3, ч.1, Физматгиз, 1958.