УРОКИ 3-4 (Уроки лекции)

ЦЕЛЬ: обеспечить восприятие, осмысление учащимися изучаемого материала; - существенных теорем параллельности прямых и плоскостей. ЗАДАЧИ: 1. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изучаемого материала. 2. Развивать абстрактное мышление. 3. Показать связь изучаемого материала с реальной жизнью. ТЕМА: «Прямые, плоскости, параллельность».

Структура урока Структура урока. Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции. Её разрешение при реализации намеченного плана лекции. Выделение опорных ЗУН и их оформление с помощью памятки «Как конспектировать лекцию». Воспроизведение уч-ся опорных ЗУН по образцам, опорным конспектам. Применение полученных знаний. Обобщение и систематизация изученного материала. Формирование домашнего задания, постановкой вопросов для самопроверки и перечня заданий из учебника.

ХОД УРОКА. Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек - не пытайтесь «доказывать, что через две параллельные прямые можно провести плоскость». Это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве.

План лекции 1. Параллельные прямые в пространстве. 2. Признак параллельности прямой и плоскости. 3. Признак параллельности прямых. 4. Признак параллельности плоскостей. 5. Существование плоскости, параллельной данной плоскости. 6. Свойства параллельных плоскостей.

1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельную данной. Дано: Аа, а - прямая Доказать: a 1 || a; Aa 1 Доказательство: Пусть а - данная прямая и Аа. Проведём через точку А и прямую а плоскость а. Проведём через точку А в плоскости α прямую a 1, параллельную а. Докажем, что прямая a 1 ||a единственная. Допустим, что существует другая прямая 2а, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и 2а можно провести плоскость α 2. Плоскость α 2 проходит через прямую а и точку А, следовательно, она совпадает с плоскостью α. По аксиоме параллельных прямых они совпадают. Теорема доказана. A a α a1a1

2.Если две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и поэтому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые - если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

Дано: b||a; a||c. Доказать: b||c. Доказательство. Случай, когда а, b, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Предположим, что а, b, с не лежат в одной плоскости. Пусть (a,b)β, a (с;а)γ. Плоскости β и γ - различны. Отметим на прямой b точку В и проведём плоскость γ 1 через С и В. γ 1 β =b 1. α γ γ1γ1 C b1b1 β b B Прямая b 1 γ. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, т.к. b 1 β. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, т.к. b 1 γ, но а||с. Т.к. b 1 β и b 1a, то b 1 ||a, а значит b 1 и b совпадают по аксиоме параллельных, отсюда b 1 совпадает с b и лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости y 1 ) и не пересекает её. Значит b||с. Теорема доказана.

Признак параллельности прямой плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой- либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой- либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Дано: α- плоскость, аα; α 1a; a||a 1. Доказать : а||α Доказательство. Проведём плоскость α 1 через прямые а и a 1. Плоскости α и α 1 пересекаются по прямой a 1. Если бы прямая а пересекала плоскость α, точка пересечения принадлежала бы прямой a 1. Но это невозможно, так как прямые a||a 1. Итак, а α, а значит а||α. Теорема доказана.

Признак параллельности плоскостей. Дано: α - плоскость; β – плоскость a 1a 2 =A; b 1 ||a; b 2 ||a 2 b 1b 2 =A 1 ; (b 1 ; b 2 ;)β. Доказать: α || β. Доказательство. Допустим, что плоскости α β =с. прямые a 1 ||b 1, а 2 ||b 2, значит a 1 ||β, а 2 ||β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через А проходят две прямые (a 1 a 2 )||c. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. α β b2b2 b1b1 А1А1 a2a2 a1a1 A C Теорема. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости Существование плоскости, параллельной данной плоскости. Теорема. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. α b a A1A1 β A a1a1 b1b1

Дано: α -плоскость; А ¢ α. Доказать: Аβ; β||α. Доказательство. Проведём в данной плоскости α две пересекающиеся прямые а и Ь. Через данную точку А проведём параллельные им прямые a 1 и b 1. Плоскость β, проходящая через прямые a 1 и b 1 параллельна α ( по признаку параллельности плоскостей). Допустим, что через точку А проходит другая плоскость B 1 ||α. Отметим на плоскости β 1 какую-нибудь точку С ¢ β. Проведём плоскость γ через точки А, С и какую-нибудь точку В плоскости α. α(α 1, β 1, β) по прямым b, а и с. Прямые а и с не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой Ь. Но в плоскости у через точку А может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Свойства параллельных плоскостей. Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Действительно, согласно определению, параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости, они не пересекаются, так как не пересекаются, содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Следствие. Отрезки, параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. а и b пересекающие a 1 ||a 2 - параллельные прямые. A 1, A 2 и B 1,B 2 - точки пересечения прямых с плоскостями. Проведём через прямые а и b плоскость. Она пересекает плоскости ш и си по параллельным прямым A 1 B 1 и А 2 В 2. Четырёхугольник A 1 B 1 A 2 B 2 -параллелограмм, т.к. у него противолежащие стороны равны. Значит A 1 A 2 =B 1 B 2 A1A1 B1B1 B2B2 A2A2 α1α1 b a α2α2

Рассмотрим куб. Из признака параллельности прямой плоскости следует, что прямая A 1 B 1 || ABCD (так как она параллельна АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, ABCD|| A 1 B 1 C 1 D 1, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A 1 B 1 и B 1 C 1 в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС другой. Плоскость, содержащая AA 1 || CC 1, значит эти прямые параллельны: аналогично параллельные прямые B 1 C 1 и A 1 D 1. Следовательно, параллельны плоскости AB 1 C и A 1 DC, пересекающие куб по треугольникам. D B1B1 D1D1 A1A1 C C1C1 A B

Контрольные вопросы. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Что значит: прямая и плоскость параллельны? Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Домашнее задание. Гл.1 §1; (повторить аксиомы стереометрии.) На главную