Первая производная Вторая производная План

Первая производная Если производная функция положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Если производная функция положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Далее

Достаточный признак экстремума Если производная при переходе через меняет знак, то является точкой экстремума функции Если производная при переходе через меняет знак, то является точкой экстремума функции Далее

Необходимый признак экстремума Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю : Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю : График

График Главная

Вторая производная Вторая производная функции применяется при исследовании функции на промежутки выпуклости и вогнутости кривой. Вторая производная функции применяется при исследовании функции на промежутки выпуклости и вогнутости кривой. Определение

Определение Кривая называется выпуклой в точке, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке Кривая называется выпуклой в точке, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке Кривая называется вогнутой в точке,если в некоторой окрестности этой точке она расположена над своей касательной в точке Кривая называется вогнутой в точке,если в некоторой окрестности этой точке она расположена над своей касательной в точке Далее

Признак вогнутости и выпуклости Если вторая производная функции в данной промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Если вторая производная функции в данной промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Определение

Определение Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой. Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой. Далее

Признак существования точки перегиба Если вторая производная непрерывна и меняет знак при переходе через, то является точкой перегиба кривой Если вторая производная непрерывна и меняет знак при переходе через, то является точкой перегиба кривой Далее

План исследования функции и построения её графика 1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются 1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются 2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют её периодичность 2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют её периодичность 3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями 3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями 4. Находят критические точки 1-рода 4. Находят критические точки 1-рода 5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции 5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции 6. Определяют промежутки выпуклости и вогнутости и находят точки перегиба 6. Определяют промежутки выпуклости и вогнутости и находят точки перегиба 7. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой 7. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой Выход