Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника… противолежащая прямому углу. Остальные две стороны прямоугольного треугольника называются … катетами.

Признак 1 Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Теорема. Доказательство аналогично доказательству третьего признака равенства треугольников.

Признак 2 Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны гипотенузы AB и A 1 B 1 и острые углы A и A 1. Предположим, что AC и A 1 C 1 не равны. На луче A 1 C 1 от его начала A 1 отложим отрезок AC. При этом точка C перейдет в точку C, отличную от C. Треугольники ABC и A 1 B 1 C будут равны по первому признаку. Тогда угол A 1 CB 1 будет прямым, и в треугольнике B 1 CC 1 будет два прямых угла. Противоречие. Следовательно, AC должен равняться A 1 C 1 и, значит, данные треугольники равны по первому признаку.

Вопрос 1 Какой треугольник называется прямоугольным? Ответ: Прямоугольным называется треугольник, у которого есть прямой угол.

Вопрос 2 Какая сторона называется гипотенузой прямоугольного треугольника? Ответ: Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.

Вопрос 3 Какие стороны называется катетами прямоугольного треугольника? Ответ: Катетами называются стороны прямоугольного треугольника, противолежащие острым углам.

Упражнение 1 Что больше, катет или гипотенуза прямоугольного треугольника? Ответ: Гипотенуза.

Упражнение 2 Может ли прямоугольный треугольник иметь стороны, равные 4, 5, 5? Ответ: Нет.

Упражнение 3 Может ли прямоугольный треугольник иметь катеты 11 см и 111 см? Ответ: Да.

Упражнение 4 Может ли прямоугольный треугольник иметь тупой угол? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь равные катеты? Ответ: Нет.

Упражнение 6 Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним? Ответ: а) Да, б) нет.

Упражнение 7 Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Чему равна гипотенуза? Ответ: 5 см.

Упражнение 6 Верно ли, что если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.? Ответ: Нет.

Упражнение 7 Докажите, что высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Доказательство: Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC), AD и BD – высоты. Прямоугольные треугольники ABD и BAE равны по гипотенузе и острому углу. Значит, AD = BE.

Упражнение 8 Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный. Доказательство: Пусть в треугольнике ABC высоты AD и BE равны. Прямоугольные треугольники ABD и BAE равны по гипотенузе и катету. Значит, B = A и, следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

Упражнение 9 В треугольнике KLM проведена медиана LN. Докажите, что высоты треугольников MLN и KLN, проведенные соответственно из вершин M и K, равны. Доказательство: Прямоугольные треугольники KNP и MNQ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, KP = MQ.

Упражнение 10 В прямоугольном треугольнике ABC ( С = 90 о ) проведена медиана BD. Какой из углов больше ABD или CBD? Решение: Продолжим BD и отложим DE = BD. Треугольники BCD и AED равны. Следовательно, углы CBD и E равны. Так как BC < AB, то AE < AB и, значит, ABD < E = CBD.

Упражнение 11 В прямоугольном треугольнике ABC ( С = 90 о ) проведена биссектриса BE. Какой из отрезков больше AE или CE? Решение: Отложим на стороне BA отрезок BF = BC. Треугольники BCE и BFE равны. Следовательно, CE = EF. Так как EF < AE, то CE < AE.

Упражнение 12 По данному рисунку укажите способ нахождения расстояния между недоступными точками A и B.