Исследование устойчивости процесса оптимизации аналоговых цепей Александр Михайлович Земляк 1,2 Татьяна Михайловна Маркина 1 1 НТУУ Киевский политехнический институт, Украина 2 Автономный университет Пуэбла, Мексика

Содержание 1.Введение 2.Формулировка задачи 3.Функция Ляпунова процесса оптимизации 4.Анализ устойчивости 5.Выводы

1. Введение Одной из важных задач проектирования аналоговых систем является сокращение процессорного времени, требуемого для оптимизации цепей. Задачу проектирования аналоговой электронной системы можно переформулировать, обобщив её и формализовав на основе теории управления для получения множества различных стратегий проектирования. Можно поставить задачу выбора из этого множества одной стратегии, наилучшей в некотором смысле, например, в смысле быстродействия. Анализируются различные стратегии оптимизации цепи из полного структурного базиса стратегий, появляющихся на основе обобщенной теории, разработанной ранее.

2. Формулировка задачи Процесс проектирования включает: а) Математическая модель цепи: (1) б) Процедура параметрической оптимизации (2) где Вектор управляющих функций:

Непрерывная форма Процедура оптимизации: (3) Модель системы: (4)

Функции например для градиентного метода определяются : (5)

Дискретная форма Градиентный метод (6) (7) Где (8)

3. Функция Ляпунова процесса оптимизации Задача проектирования системы за минимальное процессорное время связана с более общей задачей устойчивости траекторий проектирования. Известна идея анализа устойчивости динамических систем посредством прямого метода Ляпунова. Процесс проектирования аналоговой цепи определен как управляемая динамическая система. Существует определенная свобода в выборе функции Ляпунова вследствие неединственности ее формы.

Определим функцию Ляпунова процесса проектирования (3)-(4) следующим выражением: (9) Где стационарные значения координат. Все координаты являются результатом процесса проектирования. Определим другие переменные В этом случае формула (9) может быть записана в следующей форме: (10) Эта функция удовлетворяет всем условиям стандартного определения функции Ляпунова.

Действительно функция V(Y) кусочно непрерывная и имеет кусочно непрерывную производную. Кроме того: i)V(Y) >0, ii)V(0)=0, and iii) when. В этом случае можно анализировать устойчивость решения в нулевой точке Y=0. С другой стороны нулевая точка соответствует точке A= в координатах X. Обе задачи идентичны. Мы можем анализировать устойчивость различных стратегий проектирования на основе формулы (9) если решение задачи проектирования уже найдено каким-либо образом. С другой стороны очень важно контролировать устойчивость процесса в течение процедуры проектирования.

Мы должны определить другую форму функции Ляпунова, которая не зависит от неизвестной стационарной точки в явном виде. Определим функцию Ляпунова следующей формулой : (11) где F(X,U) обобщенная целевая функция процесса оптимизацииi. Эта функция имеет те же свойства, что и функция (10) для достаточно большой окрестности стационарной точки. i) V(X,U)>0 ii) = 0 в стационарной точке iii)?Мы также считаем, что функция V(X,U) возрастает в достаточно большой окрестности стационарной точкиi.

Рис. 1. Двухкаскадный транзисторный усилитель 4. Анализ устойчивости

Производная по времени от функции Ляпунова dV/dt отрицательна для всех траекторий на начальном интервале процесса проектирования, т.е. все возможные стратегии устойчивы в начальном периоде. Когда текущая точка траектории подходит к окрестности стационарной точки, то некоторые стратегии теряют устойчивость т.к. производная функции Ляпунова становится положительной. Это означает, что все траектории этой группы не гарантируют сходимости, начиная с этой окрестности. Каждая траектория этой группы имеет свою критическую окрестность, которая определяет максимально возможную достижимую точность.

Табл. 1. Критическое значение окрестности для некоторых стратегий проектирования двухкаскадного усилителя.

Tабл. 2. Упорядоченность стратегий оптимизации для двухкаскадного усилителя. Место, которое занимает любая стратегия в этой таблице, определяемое двумя различными способами упорядочивания, отличается весьма незначительно. Для двух стратегий (13 и 6) это место совпадает. В семи случаях наблюдается отличие на одно место, в четырех случаях – на два места, и в трех – на три. Усредненное значение этого отличия равно 1,5.

Рис. 2. Трехкаскадный транзисторный усилитель

Табл. 3. Критическое значение окрестности для некоторых стратегий проектирования трехкаскадного усилителя.

Table 4. Упорядоченность стратегий оптимизации для трехкаскадного усилителя. Усредненное значение различия для двух способов упорядочивания равно 2,6.

4. Выводы Задача построения оптимального по времени алгоритма проектирования аналоговых цепей может быть адекватно решена на основе использования теории оптимального управления. Поскольку процесс оптимизации цепи формулируется как динамическая управляемая система, постольку естественным шагом явилось введение понятия функции Ляпунова процесса оптимизации. Опираясь на характеристики функции Ляпунова, оказалось возможным провести детальный анализ свойств различных стратегий оптимизации электронных цепей. Показано, что задача анализа временных характеристик различных стратегий проектирования связана с более общей задачей устойчивости и сходимости стратегий оптимизации. Стратегии, обладающие большим запасом устойчивости, имеют меньшее процессорное время оптимизации цепи.

Спасибо за внимание. Вопросы ?