ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ

Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности тела секущей плоскостью, называется сечением Линия пересечения поверхности с плоскостью является линией, одновременно принадлежащей поверхности и секущей плоскости Поэтому для ее построения необходимо отыскать такие точки и линии, которые одновременно принадлежат данной поверхности и заданной секущей плоскости

Пересечение проецирующей поверхности с проецирующей плоскостью

Прямой круговой цилиндр занимает горизонтально проецирующее положение

Пара прямых П Секущая плоскость – горизонтально проецирующая проецирующая Ф=k, k I k kIkI k 2 (k I 2 ) k3k3 kI3kI3 k kIkI П 2 ; П 1 k1k1 kI1kI1 Ф Ф

β2β2 Секущая плоскость фронтально- проецирующая Секущая плоскость фронтально- проецирующая β П 2 ; t Ф t2t2 t1t1 t3t3 t β β3β3 β1β1 β Ф=t эллипс

Горизонтальная проекция линии сечения совпадает со следом проецирующего цилиндра, фронтальная – со следом плоскости t2t2 t1t1 t3t3 t β П 2 ; β 2 t 2 Ф2Ф2 t1t1 В1В1 В2В2 А2А2 А1А1 С 1 I 1 I С2С2IС2С2I 2 2 I С 1 1

Пара прямых эллипс окружность 2 П 2 Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения прямого кругового цилиндра П 1 ; 3 1

2 k 2 k1k1 f1f1 f2f2 t2t2 g2g2 g1g1 t1t1 П 2 Секущая плоскость фронтально проецирующая Секущая плоскость фронтально – проецирующая k1k1 2 k 2 k 3 1 k3k3 Призма занимает горизонтально проецирующее положение

Пересечение поверхности общего положения с проецирующей плоскостью

Конические сечения (коники)

Аполлоний Пергский 262 год до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса»

точка 1 Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения П 1 А А2А2 А1А1 А3А3

П 1 Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения

2 окружность точка 1

Секущая плоскость фронтально – проецирующая Секущая плоскость фронтально – проецирующая 2 окружность точка о

2 окружность точка 1 3 эллипс 90 о

Секущая плоскость фронтально- проецирующая, параллельная очерковой образующей Секущая плоскость фронтально- проецирующая, параллельная очерковой образующей 2 окружность точка 1 3 эллипс 4 // 4 П 2 ; 4 2 ;

2 окружность точка 1 3 эллипс 4 парабола //

Секущая плоскость параллельна оси вращения Секущая плоскость параллельна оси вращения 2 окружность точка 1 3 эллипс 5 парабола // /// 4 Гипербола

Секущая плоскость проходит через ось вращения Секущая плоскость проходит через ось вращения Пара прямых 5 5 i

Задача А2А2 А1А В1В1 В11В11 В21В2В21В гм R Построить линию пересечения поверхности тора фронтально проецирующей плоскостью

Пересечение поверхности общего положения с плоскостью общего положения

Обе проекции искомой линии пересечения строятся в плоскостях П 1 и П 2, с использованием метода секущих плоскостей или способом замены плоскостей проекций

1. Поверхность и плоскость пересекают вспомогательной плоскостью посредником. 2. Находят линию пересечения плоскости- посредника с поверхностью Ф: n = Ф. 3. Находят линию пересечения плоскости- посредника с заданной плоскостью : MN =. 4.Отмечают точки, в которых эти линии пересекутся: 1,2 – MN n Точки 1 и 2, являясь общими для данных поверхности и плоскости будут точками искомой линии пересечения. 5. Для построения линии пересечения необходимо найти еще ряд точек (3,4,5…), используя плоскости-посредники Алгоритм решения задач на пересечение поверхности общего положения с плоскостью общего положения

2 1 3 Главный меридиан П 3 очерк ( ) НТ 3 ВТ 3 ВТ 1 ВТ 2 НТ 2 НТ 1 S3S3 S2S2 S1S1 S 1

гм П2f 1 f3f3 f2f2

1 2 гм

2 3 НТ 3 ВТ 3 ВТ 1 ВТ 2 НТ 2 НТ Ф MN 2 MN 1 1

А1А1 С1С1 В1В1 В2В2 С2С2 А2А2 Задача ί2ί2 ί1ί1 h2h2 C 2 B 2 (h 2 )ox гм П2f 1 гм П 1 П 4 П2П2 П1П1 Х 1,2 Х 1,4 П4П4 П1П1 гм f2f2 f1f1 // S2S2 S1S1 G2G2 Q2Q2 Q1Q1 G1G1 h1h1 С4B4С4B4 А4А4 ВТ 4 НТ 4 НТ 1 ВТ 1 (ВТ 2 ) НТ R z z

Пересечение прямой с поверхностью Алгоритм 1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость – посредник 1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость – посредник 2. Находят линию пересечения поверхности с плоскостью - k 3. Отмечают точки пересечения прямой АВ с линией k, точки 1 и 2 Количество точек пересечения прямой с поверхностью определяет порядок последней

Поверхность занимает проецирующее положение, прямая общего положения

Поверхность третьего порядка

Поверхность занимает общее положение, Поверхность занимает общее положение, прямая общего положения

Поверхность третьего порядка