Что такое уравнение Уравнение – это способ записи задачи математическим языком. Любую задачу, где нужно делать расчёт, можно записать как уравнение. Но это не всегда нужно. Например. «У Пети яблок на два больше, чем у Маши, а всего у них 22 яблока. Сколько яблок у Маши?» Решить можно так. - У Маши х яблок. - Тогда у Пети их х+2 - Тогда всего яблок х+2 + х - То есть всего яблок 2х Но мы знаем, что яблок 22, значит, можно написать уравнение: 2х + 2 = 22 Решаем уравнение: 2х = 22 – 2 = 20 х = 20/2 = 10 Ответ: у Маши 10 яблок На самом деле эту задачу можно решить в уме без всяких уравнений, потому, что она простая. Но попробуйте решить вот такую задачу: «На столе лежала коробка конфет. Дети поделили конфеты так, что Маше досталась половина всех конфет, Пете треть, а Саше 1/9 часть. После этого в коробке осталсь 2 конфеты. Сколько там было конфет сначала?» Конечно, можно решить задачу подбором, но это долго, и можно ошибиться. А можно решить так: Всего конфет х. Тогда Маша взяла x/2, Петя взял x/3, а Саша взял x/9, всего дети взяли x/2 + x/3 + x/9, и осталось 2 конфеты. Значит, можно составить уравнение: x/2 + x/3 + x/9 + 2= х. Решаем уравнение: (9x + 6x + 2x)/ = х (приводим дробь к общему знаменателю) 9x + 6x + 2x + 36 = 18х (умножаем левую и правую части на 18) ( )x + 36 = 18x (складываем все х) 17x + 36 = 18x 36 = х (переносим х вправо) Значит, всего конфет было 36.

1. Петя и Миша – близнецы, и весят одинаково. Маша – их старшая сестра. Она тяжелее каждого своего брата по отдельности на десять килограмм, но легче их обоих на 5 кг. Сколько весит Петя? 2. Левая фигура квадрат, а правая – прямоугольних. Сторона а (высота) у обеих фигур одинакова. Длина прямоугольника в 3 раза больше высоты. Площадь прямоугольника на 10 квадратных сантиметров больше, чем у квадрата. Найти площадь квадрата. Я задумал число, умножил его на 2 и прибавил 3. Получилось 17. Какое было число? Значит, чтобы решить любую задачу, надо: 1. Представить задачу в виде уравнения 2. Упростить его 3. После этого оно обычно решается очень легко. Составьте уравнение по задачам: (решать не надо) АБ aa Составьте задачи по уравнениям: (решать не надо) 100х = 60х (х + 10) = 3х – 10 5(х + 16) = 7(х - 10) Подсказка. Это могут быть задачи про гонки автомобилей или велосипедистов

Когда уравнение составили, его надо упростить. Это можно сделать такими способами: Способ 1. Прибавить или отнять какое-нибудь число или выражение Например. Берём уравнение: х + 20 = 256 – х прибавляем х. Получаем : х + х + 20 = 256 – х + х. То есть: 2х + 20 = 256 Вычитаем 20. Получаем : 2х = 256 – 20 То есть : 2х = 236 А можно сделать вот так, Прибавим сразу (х – 20). Получим: х (х - 20) = 256 – х + (х – 20) (Скобки здесь не нужны, но так понятнее) Получается: х + х + 20 – 20 = 256 – х + х – 20 Значит: 2х = 236 Понятно, что дальше решать уже очень просто. Всегда надо помнить: !Если что-то делаешь слева – делай то же самое справа! (Например, прибавил 10 слева – прибавь 10 справа, а то получишь ерунду)

А ещё упрощать можно так: Способ 2. Умножить или поделить на какое-нибудь число или выражение Например. Берём уравнение: 666х = 300х Поделим на 3. Получаем: 222х = 100х А дальше делаем, как в первом примере. Прибавляем (100 – 100х): 222х – – 100х = 100х – 100х 122х = 233 Понятно, что дальше решать уже очень просто. Здесь работает то же правило: !Если что-то делаешь слева – делай то же самое справа! (Например, поделил на 10 слева – подели на 10 справа) Задание: Найди, есть ли в этом решении ошибки: 3х + 10 = 6х - 9 Делим на 3: 3х / = 6x / / 3 Получаем: х + 10 = 2х – = 2х – х 13 = х

Системы уравнений. Иногда одного уравнения не хватает Например, возьмём задачу: У десяти черепах зубов на 6 больше, чем у одного крокодила, но у каждого крокодила на 30 зубов больше, чем у доной черепахи. Сколько зубов у черепахи? Можно составить два уравнения: 10х – у = 6 и у – х = 30 Но каждое это уравнение нельзя решить по отдельности. Задание: Сколько разных решений есть у первого и второго уравнений по отдельности? Почему? Но если решать их вместе, когда х из первого уравнения такой же, как и х из второго, а у из первого уравнения такой же, как и у из второго, то решить их можно. Решаем уравнение как систему: 10х – у = 6 у – х = 30 {

Одно уравнение используем как помощника. Например, второе. Раз у – х = 30, мы можем к левой части первого уравнения прибавить у – х, а к правой 30. Тогда получим: 10х – у + (у – х) = Про второе уравнение мы пока забыли, а первое упрощаем и решаем: 10х – у + у – х = х + 0 – х = 36 9х = 36 х = 4 (Вообще-то про второе уравнение можно и не решать, так как сколько зубов у крокодила (то есть у), нам считать не задали. Но можем решить: у – х = 30 у – 4 = 30 у = 30 – 4 = 36 { 10х – у = 6 у – х = 30 Решаем систему уравнений. Это взяли из второго уравнения Это тоже взяли из второго уравнения

Задание. Решить системы уравнений: 3х – 6 = 2у у + х = 1 { { { { 2(х – у) = 4 2х + 3у = 36 2х – 5у = 0 4х + 13у = 36 2х = 3у 1 – х – у = 0