Вейвлеты и банки фильтров Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

План Вейвлеты и их связь с банками фильтров Вейвлеты и их связь с банками фильтров Непрерывное вейвлет-преобразование Непрерывное вейвлет-преобразование Дискретное вейвлет-преобразование Дискретное вейвлет-преобразование Квадратурные зеркальные фильтры Квадратурные зеркальные фильтры Пирамидальное представление данных Пирамидальное представление данных Банки фильтров: DFT, MDCT Банки фильтров: DFT, MDCT Применения банков фильтров Применения банков фильтров Аудиоэффекты Аудиоэффекты Шумоподавление Шумоподавление Компрессия звука и изображений Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψ a,b (t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро затухающей осциллирующей функции ψ(t) («материнского вейвлета») Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψ a,b (t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро затухающей осциллирующей функции ψ(t) («материнского вейвлета») Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и для разложения/синтеза функций в компрессии и обработке сигналов Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и для разложения/синтеза функций в компрессии и обработке сигналов

Понятие вейвлета Условия, обычно накладываемые на ψ(t): Условия, обычно накладываемые на ψ(t): Интегрируемость Интегрируемость Нулевое среднее, нормировка Нулевое среднее, нормировка Нулевые моменты (vanishing moments) Нулевые моменты (vanishing moments)

Понятие вейвлета Примеры вейвлетов Примеры вейвлетов Meyer Mortlet Mexican hat

Непрерывное вейвлет- преобразование (CWT) Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψ a,b (t) Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψ a,b (t)

Дискретное вейвлет- преобразование (DWT) Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 раза Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 раза Возможность построения ортогонального преобразования Возможность построения ортогонального преобразования Дискретный вейвлет: Дискретный вейвлет: 1.Последовательность чисел 2.Ортогональна своим сдвигам на четное число точек 3.Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлету

Преобразование Хаара Простейший случай вейвлет-преобразования Простейший случай вейвлет-преобразования Дан входной сигнал x[n] Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей: Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить: Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем две

Преобразование Хаара Устранение избыточности Устранение избыточности Проредим полученные последовательности в 2 раза: Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления: (интерполяция нулями) (фильтрация) (суммирование)

Дискретное вейвлет- преобразование Обобщение преобразования Хаара Обобщение преобразования Хаара Свойство точного восстановления (PR): Количество информации не изменяется. Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление. H2H2 H1H1 2 2 Коэффициенты 2 2 G2G2 G1G1 + x[n] Декомпозиция (анализ)Реконструкция (синтез)

Дискретное вейвлет- преобразование Прореживание ВЧ-сигнала Прореживание ВЧ-сигнала Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-сигнала Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-сигнала 2 2

Дискретное вейвлет- преобразование Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) частотные характеристики импульсные характеристики

Дискретное вейвлет- преобразование QMF: базис Хаара QMF: базис Хаара Плохое частотное разделение, но хорошая временная (пространственная) локализация

Дискретное вейвлет- преобразование Условия точного восстановления: Условия точного восстановления: Рассмотрим случай Рассмотрим случай h 1 [m] – симметричный, четной длины h 1 [m] – симметричный, четной длины В этом случае требуется, чтобы В этом случае требуется, чтобы Построение PR-вейвлетов: Построение PR-вейвлетов: Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши) Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши) Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со свойством «почти PR». Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со свойством «почти PR».

Дискретное вейвлет- преобразование Построение «почти PR»-фильтров большого размера с хорошим частотным разделением: Построение «почти PR»-фильтров большого размера с хорошим частотным разделением: 1.Строим симметричный НЧ-фильтр h 1 [m] методом оконного взвешивания. 2.Нормируем его коэффициенты: 3.Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h 2 [m]: 4.Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристике и пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное представление Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ- коэффициентов Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ- коэффициентов H2H2 H1H1 2 2 Коэффициенты x[n] H2H2 H1H1 2 2 Двумерное вейвлет- преобразование на каждом шаге получаем 4 набора коэффициентов: НЧ («основные») и ВЧ («детализирующие») Частотный диапазон делится на октавы Одномерный случай

Банки фильтров Банки фильтров (гребенки фильтров) – преобразования, разбивающие сигнал на несколько частотных полос Банки фильтров (гребенки фильтров) – преобразования, разбивающие сигнал на несколько частотных полос С точным восстановлением? С точным восстановлением? С увеличением количества информации? С увеличением количества информации? Пример: дискретное вейвлет-преобразование Пример: дискретное вейвлет-преобразование Еще пример: оконное преобразование Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform) Еще пример: оконное преобразование Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров Применения: Применения: Раздельная обработка сигнала в разных частотных полосах Раздельная обработка сигнала в разных частотных полосах Компрессия сигналов с независимым квантованием в разных частотных полосах Компрессия сигналов с независимым квантованием в разных частотных полосах Пример банка фильтров, основанного на STFT Пример банка фильтров, основанного на STFT Декомпозиция: STFT с окном Хана (Hann), и с перекрытием между окнами 75% Декомпозиция: STFT с окном Хана (Hann), и с перекрытием между окнами 75% Синтез: обратное DFT от каждого блока, применение весовых окон Хана и сложение окон с наложением (OLA) Синтез: обратное DFT от каждого блока, применение весовых окон Хана и сложение окон с наложением (OLA) Свойства: Свойства: Точное восстановление Точное восстановление Наличие избыточности Наличие избыточности

Банки фильтров Как банки фильтров разбивают частотно- временную плоскость? Как банки фильтров разбивают частотно- временную плоскость? Вейвлеты делят частотную ось на октавы Вейвлеты делят частотную ось на октавы STFT разбивает частотную ось равномерно STFT разбивает частотную ось равномерно f t Оконное ДПФ f t Вейвлеты

Банки фильтров, основанные на STFT Без весовых окон, без перекрытия блоков Без весовых окон, без перекрытия блоков Размытие спектра плохое разделение частот в каналах Размытие спектра плохое разделение частот в каналах Разрывы сигнала на границах блоков при синтезе Разрывы сигнала на границах блоков при синтезе Нет избыточности Нет избыточности С весовыми окнами, с перекрытием блоков С весовыми окнами, с перекрытием блоков Хорошее разделение частот в каналах Хорошее разделение частот в каналах Нет разрывов на границах блоков при синтезе Нет разрывов на границах блоков при синтезе Избыточность Избыточность + – – + t 0N2N

Банки фильтров, основанные на STFT Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT) Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT) Перекрытие 50%, весовое окно Перекрытие 50%, весовое окно Неплохое разделение частот в каналах Неплохое разделение частот в каналах Без избыточности! подходит для компрессии Без избыточности! подходит для компрессии Каждое окно длины 2N захватывает N новых отсчетов и выдает N вещественных коэффициентов спектра Каждое окно длины 2N захватывает N новых отсчетов и выдает N вещественных коэффициентов спектра Требования к окнам: Требования к окнам: Примеры подходящих окон: Примеры подходящих окон: Полпериода синуса Полпериода синуса Kaiser-Bessel derived (KBD) Kaiser-Bessel derived (KBD) +

Банки фильтров, основанные на STFT Частотно-временное разрешение Частотно-временное разрешение Способность различать детали по частоте и по времени, «размытость» спектрограммы Способность различать детали по частоте и по времени, «размытость» спектрограммы Для STFT определяется длиной весового окна (а также, отчасти, размером и шагом DFT по времени) Для STFT определяется длиной весового окна (а также, отчасти, размером и шагом DFT по времени) Соотношение неопределенностей: разрешение по частоте обратно пропорционально разрешению по времени Соотношение неопределенностей: разрешение по частоте обратно пропорционально разрешению по времени 6 ms12 ms24 ms48 ms96 ms размер окна

Банки фильтров, основанные на STFT Частотно-временное разрешение Частотно-временное разрешение Частотное разрешение спектрограммы равномерное Частотное разрешение спектрограммы равномерное Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на ВЧ Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на ВЧ STFT, окно 12 мсSTFT, окно 93 мс

Банки фильтров: достоинства и недостатки STFT STFT DWT DWT + Очень быстрая реализация для большого числа полос. – Слишком различающееся число осцилляций базисных функций, эффект Гиббса. + Возможность произвольных разбиений F-T плоскости. – Малое число частотных полос. Плохое частотное разделение между полосами.