Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность A B C D E O Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. Многоугольник называется описанным около этой окружности.

Теорема В любой треугольник можно вписать окружность. B A C L K M O В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Свойство четырехугольника описанного около окружности В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. A BC D a a b b c c d d AB+CD=BC+AD Доказательство. AB+CD=a+b+c+d, BC+AD=a+b+c+d, Поэтому AB+CD=BC+AD.

Обратное утверждение Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. A BC D O A BC D C'C' D'D' O

Описанная окружность Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. Многоугольник называется вписанным в эту окружность A B C D E F O

Теорема Около любого треугольника можно описать окружность. В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. A C B O

Свойство четырехугольника вписанного в окружность В любом вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равна A B C D A+ C=180 0, B+ D=180 0 Доказательство. По теореме о вписанном угле имеем A= BCD, C= BAD, откуда следует A+C= ( BCD+ BAD)= ·360 0 =180 0

Обратное утверждение Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0, то около него можно описать окружность. A B C D A B C D E F