Курс лекций по теоретической механике Кинематика Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 3. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Равнопеременное вращение. Скорость и ускорение точки тела при вращательном движении. Скорость и ускорение точки вращающегося тела как векторные произведения. Формула Эйлера. Преобразование вращений. Лекция 3

Вращательное движение твердого тела – движение при котором все его точки движутся в плоскостях, перпендикулярных некоторой неподвижной прямой, и описывают окружности с центрами, лежащими на этой прямой, называемой осью вращения. Задание вращательное движения – движение задается законом изменения двугранного угла φ (угла поворота), образованного неподвижной плоскостью P, проходящей через ось вращения, и плоскостью Q, жестко связанной с телом: P Q - уравнение вращательного движения Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота. - средняя угловая скорость в интервале времени t, Устремим t 0 и перейдем к пределу: - истинная угловая скорость в момент времени t Если d φ/d t > 0, то вращение происходит в сторону увеличения угла поворота, если d φ/d t < 0, то вращение происходит в сторону уменьшения угла поворота. Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости. - среднее угловое ускорение в интервале времени t, Устремим t 0 и перейдем к пределу: - истинное угловое ускорение в момент времени t Если d 2 φ/d t 2 и d φ/d t одного знака, то скорость увеличивается по модулю и вращение называется ускоренным (дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону), если d 2 φ/d t 2 и d φ/d t разного знака, то скорость уменьшается по модулю и вращение называется замедленным (дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны). Угловая скорость изображается дуговой стрелкой в сторону вращения. ω Угловое ускорение изображается дуговой стрелкой в сторону увеличения угла поворота при. ε Равномерное вращение – угловая скорость не изменяется по величине. Равнопеременное вращение – угловое ускорение не изменяется по величине. 6

Лекция 3 ( продолжение 3.2 ) Скорость точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна (окружность радиуса R – расстояние точки до оси вращения), можно применить формулу для определения скорости точки при естественном задании движения: O + - s φ R Дуговая координата связана с радиусом окружности: Тогда проекция скорости на касательную к окружности: Поскольку далее работают с модулем угловой скорости после изображения ее в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для модуля скорости: и вектор скорости направляют перпендикулярно радиусу в сторону дуговой стрелки угловой скорости. ω Как следует из формулы скорость точки пропорциональна расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения). Ускорение точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна, можно применить формулы для определения ускорений точки при естественном задании движения: Тогда проекции ускорения на касательную к окружности и нормаль: Поскольку далее работают с модулем углового ускорения после изображения его в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для касательного ускорения: и вектор этого ускорения, называемого вращательным ускорением, направляют перпендикулярно радиусу в сторону дуговой стрелки углового ускорения. ε Нормальное ускорение теперь называется осестремительным ускорением, его направляют по радиусу к оси вращения независимо от направления дуговой стрелки угловой скорости, не говоря уж о направлении дуговой стрелки углового ускорения. Как следует из формул оба ускорения точки пропорциональны расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения). Полное ускорение точки, как и ранее, есть векторная сумма этих ускорений: Угол между направлением полного ускорения и радиусом от величины радиуса не зависит и равен: Скорость и ускорения точки при вращательном движении как векторные произведения. Представим угловую скорость и угловое ускорения как векторы, направленные по оси вращения в ту сторону, откуда дуговые стрелки этих величин указывают вращение против часовой стрелки. ω ε ω ε z z Положительное направление оси z можно задать с помощью единичного вектора k, тогда векторы угловой скорости и углового ускорения можно представить как: где z, z – проекции соответствующих векторов на ось z. 7

Лекция 3 ( продолжение 3.3 ) Скорость точки при вращательном движении как векторное произведение – определяется выражением, которое описывает и величину, и направление скорости. ω Величина (модуль) этого векторного произведения: R R Таким образом: Направление вектора рассматриваемого векторного произведения: по определению векторного произведения – перпендикулярно плоскости, проведенной через умножаемые вектора, направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора ко второму на наименьший угол кажется происходящим против часовой стрелки; по правилу правой руки – при совмещении большого пальца с первым вектором, остальных – со вторым вектором, поворот большого пальца перпендикулярно ладони указывает на направление вектора векторного произведения. Таким образом, действительно векторное произведение угловой скорости и радиус-вектора полностью определяет величину и направление скорости точки при вращательном движении в соответствии с ранее полученными результатами. Вращательное ускорение точки как векторное произведение – определяется выражением, которое описывает и величину, и направление вращательного ускорения. Величина (модуль) этого векторного произведения: Таким образом: R Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного произведения или по правилу правой руки. Таким образом, действительно векторное произведение углового ускорения и радиус-вектора полностью определяет величину и направление вращательного ускорения точки в соответствии с ранее полученными результатами. ε R Осестремительное ускорение точки как векторное произведение – определяется выражением, которое описывает и величину, и направление осестремительного ускорения. Величина (модуль) этого векторного произведения: 1, т.к. вектор скорости точки перпендикулярен плоскости, в которой лежит вектор угловой скорости. ω R Таким образом: Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного произведения или по правилу правой руки. Таким образом, действительно векторное произведение угловой скорости и вектора скорости точки полностью определяет величину и направление осестремительного ускорения точки в соответствии с ранее полученными результатами. Это векторное произведение может быть также записано в виде: 1 2 8

Лекция 3 ( продолжение 3.4 ) Формулы Эйлера – с помощью раскрытия векторного произведения для скорости точки можно получить общие аналитические выражения для этой скорости через координаты рассматриваемой точки при произвольной расположении оси вращения в пространстве: ω R x y z x y z Отсюда получаются аналитические формулы для проекций скоростей точки: Преобразования вращательных движений – изменение величины и направление угловых скоростей вращающихся звеньев в различных передаточных механизмах: Фрикционное зацепление: R1R1 R2R2 ω1ω1 ω2ω2 Скорости входящих в контакт точек колес при отсутствии проскальзывания равны: Отсюда: Передаточное число, характеризующее изменение скорости вращения при передаче вращения от одного звена к другому – отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого: Зубчатое зацепление – число зубьев каждого из колес прямо пропорционально радиусу колеса. Окружные скорости входящих в контакт точек поверхностей зубьев по-прежнему равны. Полученные соотношения остаются справедливыми, в том числе и для случая внутреннего зацепления. R1R1 R2R2 ω1ω1 ω2ω2 Радиусы делительных окружностей связаны с шагом зубьев соотношениями: С использованием чисел зубьев каждого из колес имеем: Ременная и цепная передачи –. Окружные скорости входящих в контакт с ремнем или цепью точек поверхностей обоих колес или зубьев этих колес по-прежнему равны (ремень или цепь не растягиваются и не сжимаются). Полученные соотношения остаются справедливыми. R1R1 R2R2 ω1ω1 ω2ω2 2 v 9