Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 12. Лекция 12. Пример приведения сил инерции при вращательном движении тела. Приведение сил инерции точек при плоском движении твердого тела. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела. Балансировка..

Приведение сил инерции точек твердого тела при плоском движении – Рассмотрим тело, совершающее плоское движение, и имеющее плоскость материальной симметрии параллельную плоскости движения. Это движение может быть разложено на поступательное движение с центром масс тела C и вращательное вокруг подвижной оси z C, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения xCxC C yCyC zCzC ε В соответствии с этим силы инерции поступательного движения приводятся к главному вектору сил инерции, приложенному в центре масс, и главному моменту сил инерции (паре сил, лежащей в плоскости движения): Пример: Однородный стержень OA массы M длиной l, шарнирно подвешенный в точке O к вращающейся оси со угловой скоростью ω, находится в относительном равновесии под углом к оси вращения. Определить силы инерции и угол. ω O C x y z A Силы инерции в каждой точке стержня пропорциональны осестремительному ускорению, величина которого в свою очередь пропорциональна расстоянию точки до оси вращения (треугольная эпюра распределения). Элементарная сила инерции, приложенная к элементарной массе длины ds, расположенной на расстоянии s от точки О, равна: s ds dФdФ Главный вектор сил инерции находится интегрированием dФ по длине стержня: Этот же результат можно гораздо проще получить используя ускорение центра масс: Главный момент сил инерции нельзя найти по формуле M Ф 0 = I x x, т.к. стержень OA находится в относительном равновесии и x = x = 0. Однако силы инерции от вращения стержня относительно оси z создают момент сил инерции: Таким образом, силы инерции приводятся к главному вектору, приложенному в центре приведения O, и главному моменту относительно этого центра. Полученную систему силы и пары можно заменить одной силой, равнодействующей сил инерции, приложенной в точке, отстоящей от центра приведения по перпендикуляру к направлению силы на расстоянии: d Угол можно определить из уравнения относительного равновесия: Таким образом, равнодействующая сил инерции приложена в центре тяжести эпюры распределения сил инерции. Такому расположению соответствует центр качаний O 1. Лекция 12

Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси – Тело произвольной формы вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. ω ε A C B x y z O 1. Освобождаем объект движения от связей и заменяем их реакциями: 2. Показываем внешние задаваемые (активные) силы: 3. Добавляем к системе сил силы инерции. В каждой точке тела прикладываем вращательную и центробежную силы инерции: MkMk K 4. Полученная система сил удовлетворяет уравнениям равновесия: 5. Силы инерции в общем случае приводятся к главному вектору и главному моменту сил инерции. Определим величину и направление компонент главного вектора сил инерции: O C x y Выбираем центр приведения в начале координат и прикладываем компоненты главного вектора сил инерции в этом центре: 6. Определим компоненты главного момента сил инерции относительно центра приведения как осевые моменты непосредственным суммированием по каждой из компонент сил инерции, приложенных в точке: K x y MkMk 6. Запишем уравнения равновесия полученной системы сил с учетом динамических добавок от возникающих сил инерции: Из первых пяти полученных уравнений можно определить реакции подшипников. Последнее уравнение является дифференциальным уравнением вращения. Динамические добавки зависят от положения центра масс тела и значений центробежных моментов инерции этого тела. zkzk xkxk ykyk 1313 Лекция 12 ( продолжение – 12.2 )

Лекция 12 ( продолжение – 12.3 ) Балансировка вращающегося тела – Добавление сил инерции к действующим силам есть результат введения подвижной системы координат, связанной с вращающимся телом. Полученные уравнения представляют собой относительные уравнения равновесия, записанные для этой подвижной системы координат: 1414 ω ε A C B x y z O MkMk K zkzk xkxk ykyk Из 4 и 5 уравнений системы определим эти составляющие: Реакции подшипников разложим на две составляющие, условно статическую и дополнительную (динамическую), например: Модуль полной дополнительной динамической реакции равен: Центробежные моменты инерции, вычисляемые относительно подвижных осей, не изменяются при вращении тела. Модуль полной дополнительной реакции зависит от угловой скорости и ускорения. В случае установившегося вращения ( = 0 ), величина полной дополнительной реакции пропорциональна квадрату угловой скорости. В современных машинах угловые скорости по величине могут быть значительными, так что дополнительные динамические реакции могут во много раз превышать статические реакции. Кроме того, направления этой динамической реакции и условно статической составляющей изменяются по отношению к неподвижной системе координат. Это вызывает знакопеременное нагружение опорных узлов, приводящее к их усталостному разрушению. Если центр масс находится на оси вращения, но главная центральная ось инерции тела не совпадает с осью вращения, то условно статические реакции при консервативных заданных силах не будут изменяться по величине и по направлению (см. уравнения 1,2), но дополнительные динамические реакции образуют пару сил: Плоскость действия пары и направления дополнительных реакций вращаются вместе с рассматриваемым телом со всеми вытекающими отсюда последствиями. При конструировании машин и механизмов необходимо исключить возникновение дополнительных динамических реакций. Для этого вращающиеся элементы должны иметь нулевые центробежные моменты инерции, т.е. главная центральная ось должна совпадать с осью вращения. При изготовлении таких элементов возможны незначительные отклонения в размерах, которые приводят к неуравновешенности возникающих при вращении сил инерции и возникновению дополнительных динамических реакций на опорные устройства. Для предотвращения этого выполняется балансировка - введение дополнительных масс, силы инерции которых уменьшают неуравновешенность сил инерции тела, или, напротив, высверливание части материала, что изменяет распределение сил инерции. т.к. по определению условно статических реакций.