Курс лекций по теоретической механике Кинематика Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 5. Примеры использования МЦС для определения скоростей. Теорема о сложении ускорений. Мгновенный центр ускорений (МЦУ). Примеры использования теоремы о сложении ускорений и МЦУ для определения ускорений Лекция 5.

Лекция 5 Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени. Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах: 1 Дано: v A, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует. Найти: v B, v C B C A 1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору v A (нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной поверхностью качения). 2) Определяем угловую скорость: P 3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек: Дуговая стрелка угловой скорости направлена в сторону вектора линейной скорости v A. Векторы линейных скоростей v B и v C направлены в сторону дуговой стрелки угловой скорости. 2 Дано: v A, ω, положения точек A, B, C. Найти: v B, v C 1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору v A 2) Определяем расстояние до МЦС: 3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек: Расстояние AP откладываем в сторону дуговой стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку угловой скорости изображаем вокруг МЦС. Векторы линейных скоростей v B и v C направлены в сторону дуговой стрелки угловой скорости. B C A P 3 Дано: v A, v B, положения точек A, B, C. Найти: v C 1)МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам v A,v B, 2) Определяем угловую скорость: Вектор линейной скорости v C направлен в сторону дуговой стрелки угловой скорости. B C A P Дуговая стрелка угловой скорости направлена в сторону векторов линейных скоростей v A, v B. 3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки: 4 Дано: v A, траектория точки B, положения точек A, B, C. Найти: v C, 1)МЦС находится на пересечении перпендикуляров к вектору v A и касательной к траектории точки B. 2) Определяем угловую скорость: Вектор линейной скорости v C направлен в сторону дуговой стрелки угловой скорости. Дуговая стрелка угловой скорости направлена в сторону векторов линейной скорости v A. 3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки: B C A P 13

Лекция 5 (продолжение 5.2) Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры 5 Дано: v A, v B, v Av B, положения точек A, B, C. Найти: v C 1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам v A и v B. Эта точка находится в бесконечности. 2) Угловая скорость обращается в нуль (мгновенно поступательное движение): 3) Скорость точки C равна геометрически скоростям точек A и B: Вектор скорости точки C направлен параллельно векторам скоростей точек A и B (в ту же сторону). 6 Дано: v A, v B, v Av B, положения точек A, B, C. Найти: v C 1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам v A и v B. Эти перпендикуляры сливаются в одну линию. 2) Определяем положение МЦС (проводим линию через концы векторов v A и v B ) и угловую скорость: 3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки: Дуговую стрелку угловой скорости изображаем в сторону векторов линейных скоростей v A, v B. Вектор линейной скорости v C направлен в сторону дуговой стрелки угловой скорости. B C A B C A P 7 Дано: v A, v B, v Av B, положения точек A, B, C. Найти: v C 1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам v A и v B. Эти перпендикуляры сливаются в одну линию. 2) Определяем положение МЦС (проводим линию через концы векторов v A и v B ) и угловую скорость: 3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки: Дуговую стрелку угловой скорости изображаем в сторону векторов линейных скоростей v A, v B. Вектор линейной скорости v C направлен в сторону дуговой стрелки угловой скорости. B C A P Пример использования МЦС при исследовании работы кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М Теоретическая механика в примерах и задачах. Кинематика (электронное пособие автора ), Теорема о сложении ускорений – Ускорение любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки вокруг полюса. Скорости точек A и B связаны между собой соотношением: Продифференцируем это соотношение по времени: Второе слагаемое дифференцируем как произведение двух функций: Получили сумму вращательного и осестремительного ускорений рассматриваемой точки относительно полюса. Таким образом, ускорение точки плоской фигуры: Следствие – Концы векторов ускорений точек плоской фигуры, лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой и делят ее на отрезки, пропорциональные расстояниям между точками. A B C Концы векторов ускорений точек a BA и a СA лежат на одной прямой Abc и делят ее на отрезки пропорциональные расстояниям между точками: Концы векторов ускорений полюса A, изображенных в точках B и C, лежат также лежат на одной прямой. Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов суммарных ускорений точек B и C также лежат на одной прямой, и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между точками. a b 14

Лекция 5 (продолжение 5.3) Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко связанная с плоской фигурой, ускорение которого в этот момент равна нулю. Пусть известно ускорение одной из точек фигуры, угловая скорость и угловое ускорение вокруг этой точки: Запишем векторное соотношение для ускорения некоторой точки Q согласно теоремы о сложении ускорений: Зададим значение ускорения этой точки Q равной нулю: Тогда получаем: Это позволяет найти положение МЦУ (точки Q), а именно: МЦУ должен находиться прямой, составляющей угол к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону углового ускорения, на расстоянии: Т.е. ускорение искомой точки при вращении вокруг полюса должно быть равно по модулю ускорению точки A, параллельно этому ускорению и направлено в противоположную сторону. Если положение МЦУ найдено, ускорение любой точки плоской фигуры может быть легко определено посредством выбора полюса в МСУ. В этом случае векторное выражение теоремы о сложении ускорений вырождается в известную зависимость полного ускорения от расстояния до центра вращения: Таким образом, при определении ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени можно считать, что тело совершает вращательное движение вокруг МЦУ. Внимание: На самом деле в данный момент тело вращается вокруг МЦС, положение которого в общем случае не совпадает с положением МЦУ. A Угол между вектором полного ускорения точки при вращении относительно центра равен: Q B Q C Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры 1 Дано: a A,,, положения точек A, B. Найти: a B B A 1) МЦУ находится на прямой, составляющей угол к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону углового ускорения, на расстоянии: Q 2) Соединяем точку B с МЦУ и определяем ускорение этой точки: Если = 0 и 0, то = 0 и Ускорения всех точек будут направлены в точку Q (МЦУ). Если 0 и = 0, то = 90 о и Ускорения всех точек будут перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с МЦУ, и направлены в сторону углового ускорения. 15

B A C Лекция 5 (продолжение 5.4) Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры 2 Дано: a A, a B, положения точек A, B, C. Найти: a C 3) МЦУ находится на пересечении прямых, повернутых на угол от векторов ускорений точек A и B в сторону дуговой стрелки углового ускорения: 4) Соединяем точку C с МЦУ и определяем ускорение этой точки из одного из соотношений: и направляем вектор ускорения под углом к отрезку QC в сторону дуговой стрелки углового ускорения. 1) Запишем теорему о сложении ускорений и найдем ускорение точки B во вращении вокруг полюса A: 2) Определим угол между вектором a BA и прямой AB и направление дуговой стрелки углового ускорения: Q Использование МЦУ связано с геометрическим построениями и решениями косоугольных треугольников, что не совсем удобно в общем случае. Можно решить эту задачу алгебраически с помощью проекций: B A C 1) Запишем теорему о сложении ускорений для точек B и A: и изобразим компоненты ускорений: x y 2) Спроецируем уравнение на координатные оси: 3) Из этих уравнений можно найти угловые скорость и ускорение. 4) Запишем теорему о сложении ускорений для точек С и A: и изобразим компоненты ускорений: 5) Спроецируем уравнение на координатные оси: Пример решения – См. задачу М Теоретическая механика в примерах и задачах. Кинематика (электронное пособие автора ), 16