Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Элементы интегрального исчисления 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов 3.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 4.Интегрирование дробно-рациональных функций 5.Интегрирование тригонометрических функций 6.Интегрирование некоторых иррациональностей

Первообразная и неопределенный интеграл

Свойства интеграла, вытекающие из определения Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:

Свойства интеграла, вытекающие из определения Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянной: 3. так как является первообразной для

Свойства интеграла

Таблица неопределенных интегралов

Интегрирование по частям

Метод замены переменной

Задача о вычислении площади плоской фигуры Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции, отрезками прямых, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией a b

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Определенный интеграл

Теорема о существовании определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем Если функция непрерывна на то существует такая точка что

Вычисление определенного интеграла

Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах. 0

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:. Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют. Уравнение с разделяющимися переменными

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v- вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2- го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой,.

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если, то характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня В этом случае общее решение имеет вид.

Случай 2. Если, то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни. Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми: и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид.

Случай 3. Если, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и, где и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать в виде