Вероятности случайных событий

Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений

Принцип сложения Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. Принцип сложения 2: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.

Перестановки Число всех перестановок обозначается Итак, Пример В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия? Решение Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

Размещения Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество. Составим все 2- размещения этого множества.

Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: 1) выбор первого элемента n способами; 2) выбор второго элемента (n-1) способами; и т. д. k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

Число размещений Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде Действительно

Сочетания Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k- элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество. Составим 2- сочетания:

Сочетания Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, Отсюда

Свойства сочетаний 1) Доказательство: 2) Доказательство:

Свойства сочетаний 3) Доказательство: 4) Доказательство:

Бином Ньютона

Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев

Свойства вероятности 1. - вероятность достоверного события; 2. - вероятность невозможного события; 3. 0P(A)1 - вероятность любого события.

Относительная частота Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний - относительная частота события А или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний. Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Опр. Событие называется случайным по отношению к данному испытанию (опыту), если при осуществлении этого испытания (опыта) оно может наступить или не наступить. Событие обозначается:

Определения. 1.Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет называется достоверным. 2.Событие, которое в результате опыта никогда не наступит называется невозможным. 3. Если одновременно одно событие влечет за собой другое и наоборот, такие события называются равносильными.

4. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. 5. События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

6. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является практически достоверным событием.

7. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Опр. Произведением событий и называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Опр. Событие называется противоположным событию, если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда не наступает.

Опр. Разностью двух событий и называется событие, которое состоится, если событие произойдет, а событие не произойдет.

Если события несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: Правило сложения вероятностей.

Опр. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

Опр. События называются независимыми, если наступление одного не меняет шансов появления другого. Если события и независимы, то

ЗАМЕЧАНИЯ. Для совместных событий: Для несовместных событий: Для независимых событий: Для зависимых событий:

Предположим, что событие может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий тогда имеет место формула

Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие Сам по себе этот факт ещё не позволяет сказать, какое из событий имело место в проделанном опыте. Можно поставить следующую задачу: найти вероятности

ФОРМУЛА БАЙЕСА