Предельные законы теории вероятностей

Неравенство Чебышева

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием и дисперсией. Каково бы ни было положительное число, вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на, ограничена сверху числом Пусть имеется СВ с математическим ожиданием и дисперсией. Каково бы ни было положительное число, вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на, ограничена сверху числом

Если СВ, для которой существует математическое ожидание, может принимать только неотрицательные значения(т.е. ), то вероятность того, что принятое ею значение окажется не меньше 1, не превосходит числа Если СВ, для которой существует математическое ожидание, может принимать только неотрицательные значения(т.е. ), то вероятность того, что принятое ею значение окажется не меньше 1, не превосходит числа

Следствие Следствие

Теорема Чебышева

Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной: Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной: Тогда каково бы ни было положительное число Тогда каково бы ни было положительное число

Локальная приближенная формула Лапласа ( -велико)

Формула позволяет найти Формула позволяет найти Интегральная формула Лапласа

Пусть Пусть

Свойства интегральной функции Лапласа Лапласа1)2)

Тогда Тогдагде

средние величины представляют собой обобщенную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени

Значимость использования средних величин СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА заменяет индивидуальные значения варьирующего признака единиц наблюдения, на усредненную величину, достаточно объективно отражающую свойства совокупности

принципы применения средних величин обоснованность выбора единиц совокупности обоснованность выбора единиц совокупности определение качественного содержания усредняемого признака определение качественного содержания усредняемого признака учет взаимосвязи изучаемых признаков учет взаимосвязи изучаемых признаков

Средняя арифметическая простая Средняя арифметическая простая Средняя арифметическая взвешенная Средняя арифметическая взвешенная Средняя гармоническая Средняя гармоническая Средняя геометрическая Средняя геометрическая Средняя хронологическая Средняя хронологическая Структурные (описательные средние) - мода, медиана Структурные (описательные средние) - мода, медиана

вычисляется, как сумма отдельных значений признака деленная на их число СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ где xi - индивидуальное значение i-ого признака, n - общий объем совокупности n - общий объем совокупности

Например: Например: Имеются данные о стаже 7 работников фирмы (лет): 15, 12, 16, 21, 11, 10, , 12, 16, 21, 11, 10, 13. Х = = 98 =14 лет., Средний стаж одного работника составил 14 лет. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ

вычисляется, если имеются многократные повторения значения признака и совокупность разбита на группы где - Х i значения признака в i-ой группе, fi -число повторов (частоты) в i-ой группе, fi -число повторов (частоты) в i-ой группе, СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ

Данные о возрасте 20 работников Возраст, летЧисло работников, чел ИТОГО20

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ за х - примем признак возраст, за f - количество работников определенного возраста Х = 20*4+25*5+26*2+30*2+32*4+42*3 = 571 = 28, 55 лет средний возраст работника составляет около 29 лет.

Рассчитывается, если отсутствуют данные о величине частот признака (f), но имеются данные об индивидуальных значениях признака (x) и величине, представляющей собой произведение признака на частоту (W =x*f). При этом неизвестное значение f легко определить как отношение W на х, то есть f= W/x где х – отдельные варианты; W – число вариантов W – число вариантов

Данные для расчета средней заработной платы ФирмыФонд заработной платы, W Среднемесячная заработная плата 1 работника фирмы, рублей, х W/х А123=1/2 Веста-тур Омега Курс Итого

Тогда размер средней заработной платы одного работника фирмы составит Х= = 7302 рубля 55

Рассчитывается, когда индивидуальные значения признаков представлены относительными величинами динамики (цепными), то есть когда требуется охарактеризовать интенсивность развития явлений и процессов за длительный период..

где n – число значений признака, П – знак перемножения х. где х - относительные величины динамики

. Данные о числе перевезенных пассажиров МесяцыЧисло перевезенных пассажиров, млн. чел. ОВД (цепная) Октябрь63- Ноябрь651,032 Декабрь701,077 Например: необходимо определить средний темп изменения численности перевезенных пассажиров железнодорожным транспортом по Российской Федерации за 4 квартал 2008 года, данные условные.

Х= 1,032*1,077= 1,054*100=105,4% Следовательно, в среднем за месяц число перевезенных пассажиров железнодорожным транспортом в четвертом квартале 2008 года увеличивалось на 5,4%..

. исчисляется из показателей изменяющихся во времени и представленных на конкретный момент времени (дату) где х – значение признака n – число моментов времени

. Например: рассчитать на начало месяца среднюю величину остатка денежных средств на расчетном счете (за 1-ое полугодие 2008 года, данные условные) ДатаВеличина денежных средств, тыс. руб Данные об остатке денежных средств

. Х= 13200/ /2 6-1 = тыс. руб. Таким образом, в среднем остаток денежных средств на расчетном счете компании на начало месяца в первом полугодии 2008 года составлял тыс. руб.