Принцип максимума Понтрягина и его экономические прило жения
Проблема нахождения оптимальной траектории Вывод на орбиту некоторого груза требовал огромных затрат энергии. Поэтому весьма актуальной стала проблема выбора такой траектории стартового участка космической ракеты, при движении вдоль которой с той же затратой топлива можно было бы вывести на орбиту лишний килограмм полезного груза.
Решение проблемы В 1951 г. Л. С. Понтрягин опубликовал свой принцип максимума. Он предложил простую конструкцию, позволяющую сводить нестандартные задачи анализа к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений - зада чам трудным, но все же решаемым классическими методами численного ана лиза.
Область применения Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.
Решение простейшей задачи по быстродействию Дано : Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию
Применение принципа максимума Понтрягина к задаче Введем фазовые переменные Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: Начальное положение при t 0 =0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.
Функция Гамильтона имеет вид Общее решение сопряженной системы легко выписывается в явном виде где С, D - постоянные.
Очевидно, что максимум функции Н по и U достигается при Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1.