1 СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ 1. Преобразования симметрии. 2. Группы симметрии, подгруппы. 3. Классификация групп симметрии. 4. Элементы симметрии кристалла. 5. Сингонии и кристаллические классы.

2 Симметрия молекул Точечные группы

3

4 Молекула уксусной кислоты CH 3 OOH

5 Диацетил (диметилглиоксаль) C 4 H 6 O 2 C 2

6 Тригидроксихинолин аллюминия C 3

7 Циклен C 4

8 Зеркально-поворотная ось: S n = C n h Инверсия: I = S 2

9 Этан S 2

10 Метан CH 4 : S 4 S4S4 S4S4 S4S4

11 Молекула воды H 2 O: C 2 1 2

12 EC2C2 v1 v2 EEC2C2 v1 v2 C2C2 C2C2 E v1 v2 EC2C2 v1 C2C2 E C 2v Таблица умножения в группе

13 Молекула гидразина N 2 H 4 : C 2 h z

14 EC2C2 h I EEC2C2 h I C2C2 C2C2 EI h h h IEC2C2 II h C2C2 E C 2h Таблица умножения в группе

15 Группа C 3v

16 Группы D n и D nh : Группы C n, C nv и C nh

17 Группы тетраэдра T: E, 4C 3, 4C 3 2, 3C 2 T h : E, 4C 3, 4C 3 2, 3C 2 I, 4S 6, 4S 6 -1, 3 h T d : E, 4C 3, 4C 3 2, 3C 2 3S 4, 3S 4 -1, 6 v

18 Группы куба O: E, 4C 3, 4C 3 2, 3C 4, 3C 4 -1, 9C 2 O h : E, 4C 3, 4C 3 2, 3C 4, 3C 4 -1, 9C 2 I, 4S 6, 4S 6 -1, 4S 4, 4S 4 -1, 9

19 Симметрия кристаллов: трансляция - параллельный перенос на вектор Вопрос: какие операции точечной симметрии совместимы с трансляционной симметрией? Ответ: I

20 СИНГОНИЯСимметрия решеткиТип решетки 1.ТриклиннаяCiCi 1P 2.МоноклиннаяC2hC2h 2/mP,C 3.ОрторомбическаяD2hD2h mmmP,C,F,I 4.ТетрагональнаяD4hD4h 4/mmmP,I 5.ТригональнаяD3dD3d 3m3mP 6.ГексагональнаяD6hD6h 6/mmmP 7.КубическаяOhOh m3mm3mP,I,F

21 ТриклиннаяCiCi МоноклиннаяC2hC2h Орторомби- ческая D2hD2h Тетрагональ- ная D4hD4h P C B F

22 5.ТригональнаяD3dD3d 6.ГексагональнаяD6hD6h 7.КубическаяOhOh P B F

23 Зачем изучать симметрию кристаллов? А. Описание кристаллической структуры B. Классификация состояний (электронных, фононных) и переходов между ними (спектров) С. Определение вида тензорных характеристик

24 Кристаллическая структура: 1. Решетка Браве: a, b, c 2. Базис: список атомов и их позиций в ячейке Симметрия кристалла: 1 Сингония - кристаллическая система (7 типов) 2 Тип решетки Браве (P, A, B, C, I, F - 14 типов) 3 Кристаллическая система (32 типа) 4 Типы частичных трансляций 230 пространственных групп

25 Кристаллические классы СингонияТочечные группыПр. группы триклиннаяCiC11-2 моноклиннаяC2hCsC23-15 орторомбич.D2hC2vD тетрагональнаяD4hD2dC4vD4C4hS4C тригональнаяD3dC3vD3C3iC гескагональнаяD6hD3hC6vD6C6hC3hC кубическаяOhTdOThT

26 Сингония Точечная группа международная сист (Германн-Моген) Шёнфлис Триклинная 1C1C1 1CiCi Моноклинная 2C2C2 mCsCs 2/mC 2h Орторомбическая 222D2D2 mm2C 2v mmmD 2h

27 Винтовые оси

28 Плоскости скольжения

29 Пример: InN, вюрцитная модификация P 6 3 m c a = 3.54 Å, c = 5.71 Å (Z=2) In,, N,, 0.

30 P 6 3 m c: C 6v \4, N 186 Операции пространственной группы 1Exyz 2C6x-y,x,z+½ 3C3-yx-yz 4C2-x,-y,z+½ 5-C3-x+y-xz 6-C6y,-x+y,z+½ 7Ma-x+y-yz 8M21-y-x+yz 9M+-y-xz 10M12x-y,-y,z+½ 11Mbx,x-y,z+½ 12M-y,x,z+½

31 xyzEC6C3C2-C3-C6MaM21M+M12MbM- In1,, In2,, N1,, N2,, Размножение атомов

,3 1,4

33 Ceolite Symmetry group F m -3 c (Oh\6, N = 226) a = Å xyzn Si Al O1O O2O O3O Na

34

35 B. Классификация состояний Состояние – вектор, свойство – матрица Собственный вектор гамильтониана – стационарное состояние

36 S – преобразование симметрии Инвариантность H к преобразованиям S Невырожденное состояние Вырожденное состояние Следствие 1: правила отбора Следствие 2: разбиение векового уравнения на блоки

37 Уравнение для ядерной подсистемы: Собственные числа - частоты колебаний - формы нормальных колебаний. Собственные векторы

38 Пример: молекула AX 4 Таблица умножения группы C 4v. EC41C41 C43C43 C42C42 x y d1 d2 C43C43 EC42C42 C41C41 d1 d2 y x C41C41 C42C42 EC43C43 d1 x y C42C42 C43C43 C41C41 E y x d2 d1 x d2 y EC42C42 C41C41 C43C43 y d1 x C42C42 EC43C43 C41C41 y x d2 C43C43 C41C41 EC42C42 x y d1 C41C41 C43C43 C42C42 E

39 Неприводимые представления группы C 4v Пред- ставле ние EC41C41 C42C42 C43C43 x y d1 d2 A1+1 A2+1 B B E