Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств 2. Иррациональные 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться 6. Неравенства

1. Алгебраические уравнения Линейные уравнения Неполные квадратные уравнения Полные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнения в виде пропорции Главное менюВернуться

Линейные уравнения. kx = b, если k 0. b 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член). kx = b, если k = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х R. Помните! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь. 3 х = 6 Ключевые слова. 1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2.Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Решить уравнения. Пример 1. 9(2х – 18) = - 9х 18х – 9 18 = - 9х, 18х + 9х = 9 18, 27х = 9 18 х = Главное меню Оглавление

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения 1. ax 2 + bx = 0 с = 0 Вынесите х за скобку х(ах + b) = o Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. х =0 или ах + b = 0 2. ax 2 + с = 0 b = 0 ax 2 = -с; х 2 = ; х 1,2 =. плюс, минус При извлечении корня не забывать ставить плюс, минус Главное меню Оглавление

5х 2 - 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х =0 или 5х – 2 = 0 х= 0 ; х=0,4. Пример 1 х = 0; х 2 = 4; х = ± 2 ; Пример 2 ± Полные квадратные уравнения. ax 2 + bx + c = 0 х 2 + px + q = 0 Приведенное квадратное уравнение ax 2 + 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный С обратным знаком Главное меню Оглавление

Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 - 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: = 3, т.к. b = - 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление

Решение специальных видов квадратных уравнений. ax 2 + bx + c = 0 Если a + b +c = 0, то х 1 = 1, х 2 =Если a - b +c = 0, то х 1 = - 1, х 2 = Пример. 2х х + 41 = 0; 2 – = 0 х 1 = 1, х 2 = 41/2, х 2 = 20,5 Пример. 24х х + 6 = 0; 24 – = 0 х 1 = - 1, х 2 = - 6/24, х 2 = - 0,25 Главное меню Оглавление

Пункт 1. Разложить знаменатели на множители; Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю. Записать область определения уравнения; Пункт 4. Привести уравнение к целому виду, для чего: а) поставить черточки к каждому члену уравнения; найти и записать дополнительные множители (доп. множ); Доп. множ = б) записать результат умножения допмнож. на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде; Пункт 5. Решить полученное уравнение; Пункт 6. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние. Дробные рациональные уравнения. Главное меню Оглавление Вернуться

Пример1. Пункт1. Пункт 3. х - 4 х Пункт4. х – 4 – х 2 + х +20 = 8 х 2 - 2х – 8 = 0; х = - 2; х = 4 посторонний корень. Ответ: -2. Алгоритм Главное меню Оглавление

Уравнения в виде пропорции. Основное свойство пропорции: ad = bc Пункт 1. Найти область определения; Пункт 2. Перемножить крест на крест; Пункт 3. Решить соответствующее уравнение. Пример 1. х = 2х х 2 – 1 = 0, х = ± 1 Пример 2. 3х = х х 2 - 3х + 2 = 0 х 1 = 1, х 2 = 2 Главное меню Оглавление

2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b2. Уравнение вида 3. Уравнение вида 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Главное меню Вернуться

2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b f(x) = b 2, при b 0; при b < 0 не имеет решения. Равносильно Золотые правила. Для решения корень нужно уединить. Обе части возвести в квадрат. Примеры. 2. Уравнение вида Оглавление Главное меню

Примеры. 3. Уравнение вида Выберите неравенство, которое проще. либо Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Оглавление Главное меню

Примеры. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Проверка: х = - 1 Равенство верно х = 5 Равенство неверно Главное меню Оглавление

Уравнения, сводящиеся к квадратным Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза ( ). Решаются путем замены корня, с учетом ограничений. Примеры. = t, где t 0 t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, учитывая, что t 0, t = 3 Ответ: х = ± 7 х - любое Главное меню Оглавление

3. Тригонометрические уравнения 1. Решение простейших тригонометрических уравнений 2. Решение простых тригонометрических уравнений Главное меню Вернуться

Уравнения sinх = 0, ± 1 Уравнения sinх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 0 sinх = 0 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота х = πn, n х = πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 1 sinх = 1 х = π/2 Придем в единицу через целый оборот sinх = -1 sinх = -1 х = π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π х = -π/2 х = - π/2 +2πn, n х = - π/2 +2πn, n Главное меню Оглавление

0 -π/2 π/2 3π/2 π Уравнения cosх = 0, ± 1 Уравнения cosх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = 1 cosх = 1 х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот х = 2πn, n х = 2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = -1 cosх = -1 х = π Придем в единицу через целый оборот cosх = 0 cosх = 0 х = π +2πn, n х = π +2πn, n х = π/2 х = π/2 +πn, n х = π/2 +πn, n Придем в 0 через пол оборота Главное меню Оглавление

sinх = а Для а > 0 Для а < 0 х = ( - 1) n arcsina + n, где n Z. х = ( - 1) к +1 arcsin a + к, где к Z. cosх = а Для а > 0 Для а < 0 x = arccosa +2 n, где n Z. х = ( arccos a ) + 2 n, где n Z. tgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arctgа + n, где n Z. х = arctg а + n, где n Z. сtgх = а сtgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arcсtgа + n, где n Z. х = arсctg а + n, где n Z. sinх = а cosх = а tgх = а ctgx = а Главное меню Оглавление

Минус единица в степени... Минус единица в степени... Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление

Минус единица в степени n +1… Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка, пи минус… Плюс, минус, скобка, пи минус… минус арктангенс пи минус арккотангенс пи минус арккотангенс Считая а < 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsin|a| + πn, где n Z (-1) n+1 x = (π - arcсos|a|) + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a x = аrctg|a| + πn, где n Z - x = π аrcctg|a| + πn, где n Z - Главное меню Оглавление

Алгоритм. Пункт 1. Привести угол в стандартный вид; Пункт 2. Выразить «чистый» sin, cos, tg, ctg; Пункт 3. Записать весь угол; Пункт 4. Записать формулу решения; Пункт 5. Найти неизвестное. Примечания. Пункт 1.х должен быть с плюсом, при наличии формулы приведения - применить; Пункт 3. Угол записывается таким какой он получился после пункта 1; Пункт 4. Формула решения записывается в соответствии с вопросом: «Чье уравнение?» Алгоритм решения простых уравнений Главное меню Оглавление

1. Решите уравнение: 3 + 4sin (π/4 – 2х) = Угол в стандартный вид Найти «чистый sin» Весь угол равен: Уравнение sin: начинается с (-1) n+1 Найти х sin (2х - π/4) = 5 sin (2х - π/4) = - ½ 2х - π/4 = 2х - π/4 = (-1) n + 1 π/6 + πn n Z 2х = (-1) n + 1 π/6 + π/4 + πn х = (-1) n + 1 π/12 + π/8 + πn/2 Главное меню Оглавление

Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наименьший положительный корень n = - 1 5/4 – 3/2

4. Показательные уравнения 1. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 5. Однородные уравнения Главное меню Вернуться

а f(x) = а g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) 1. Уравнения вида а f(x) = а g(x). Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней. Примеры. 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 2) х = 5х, х 2 – 5х + 6 = 0 х 1 = 2, х 2 = 3 2. Решение полученного уравнения 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 6/5) 2х – 1 = х + 2 х = 3 2. Решение полученного уравнения Главное меню Оглавление

Золотое правилоУравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. 0,125 = 1/8 = ,25 = ¼ = 2 -2 Золотое правилоКорни, знаменатели привести к степеням. Золотое правило. Корни, знаменатели привести к степеням. Золотое правилоПривести обе части к видуа f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями Золотое правило. Привести обе части к виду а f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями 2 4х – 9 = 2 х = 6. Главное меню Оглавление

2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 а f(x) = b f(x) Решение: Разделить а f(x) на b f(x) а f(x) b f(x) = 1, (ab) f(x) = (ab) 0, f(x) = 0 Примеры. 1) 25 х – 1 = 3 2х – 2,т.к 25 = 5 2, то 5 2х – 2 = 3 2х – 2, Главное меню Оглавление

2) 12 х – 2 = 3 3х 2 6х з х – 2 2 2х – 4 = 3 3х 2 6х. Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 3 3х, а правую на 2 2х – 4, т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками. Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 4 2х х +2 = 1, 12 2х+2 = х + 2 = 0, х = - 1. Главное меню Оглавление

3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m а f(x) + h a n а f(x) + … Далее - приведение подобных слагаемых Обратим внимание, что член, не содержащий а f(x) (9), преобразовывать не нужно. Примеры. 23 х + 1 – 63 х – 1 – 3 х = х – 61/33 х – 3 х = 9, 63 х – 23 х – 3 х = 9, Приведем подобные: легко подсчитать «штучки». Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки. 33 х = 9, 3 х = 3, х = 1. Главное меню Оглавление

2) 2 х – х – х – 3 = 448 Очистим показатель и приведем к целому виду х + 22 х + 2 х = 8448 Было бы лишним действием умножать 8448, т.к. потом все равно сокращать. 2 х = 64 2 х =8 64, 2 х = 2 9, х = Уравнения, сводящиеся к квадратным Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену: а f(x) = t, где t > 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление

Общий алгоритм поиска решения показательного уравнения основания показатели 1. Привести к одному основанию 2. «Очистить» показатель» 3. Привести к определенному виду 4. Решить согласно полученному виду

2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = - 4, t = 2. t = посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление

5. Однородные уравнения Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы: - функций две; - степень одинаковая; - свободный член равен нулю. Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени. 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

t 2 + t - 2 = 0, t = - 2, t = 1 t = - 2 посторонний корень х = 0 Ответ: х = 0 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

5. Логарифмические уравнения 1. Справочный материал Уравнение вида log а f(x) = b 2. Уравнение вида log а f(x) = b Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 3. Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 5. Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) 4. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) Главное меню Вернуться

а > 0 a 1 Главное меню Оглавление

а = b log a b Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. 1. log a M · N = log a | M | + log a | N | 1) log 2 2x = 1 + log 2 x 2) lgx( 2x-3 ) = lg|x| + lg |2x-3| 2. log a M/N = log a | M | - log a | N | 1) log 2 2/x = 1 - log 2 x 2) lgx/( 2x-3 ) = lg|x| - lg |2x-3| 3.log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8) 2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 ) 2 = 2 lg |2x-3| Главное меню Оглавление

При применении записать: равно, дробная черта; в числителе log c, в знаменателе – log c ; в числитель – b; в знаменатель -а = = = - 3 Главное меню Оглавление

5. Логарифмические уравнения 1. Уравнение вида log а f(x) = b Примеры: х -3, х – 2 = 3х + 9, х = 11/2, х = 5,5 Главное меню Оглавление

2. Уравнение вида log а f(x) = log а g(x) Можно выбрать одну систему, где неравенство легче Можно решать без равносильности, но надо сделать проверку и исключить посторонние корни. или Главное меню Оглавление

Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление

3. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) или log а f(x) = b Алгоритм решения 1. Найти ОДЗ уравнения; 2. Применить свойства логарифмов; 3. Решить согласно полученному виду; 4. Отобрать корни. Главное меню Оглавление

1) log 2 (x +1) + log 2 (x +2) = 1 1. ОДЗ 2. Сумма логарифмов log 2 (x +1)(x +2) = 1 3. Решение log 2 (x +1)(x +2) = 1 (x +1)(x +2) = 2, х 2 + 3х + 2 = 2, х = 0, х = посторонний корень Ответ: 0 Главное меню Оглавление

2) log 2 (x +1) - 2log 2 x = 1 Целесообразно избегать разности логарифмов, т. к. это приводит к дробям, что усложняет решение Любое число можно представить в виде логарифма по нужному основанию: c = log a a c 1 = log 2 2 Главное меню Оглавление

ОДЗ /3 7/3 1/ /3 x 7/3 Главное меню Оглавление

/ /3 x 7/3 34/3 x = 3 Главное меню Оглавление

Уравнения, в которых степени логарифмов разнятся в два раза, решаются как квадратные с заменой логарифма. Например: log 2 и log, log 4 и log 2 и т.д. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Следует отличать логарифм в квадрате и логарифм от квадрата: log 2 а f(x) = log а f(x) · log а f(x), a log a f 2 (x) = 2 log a |f (x)| Помните, что Логарифм в квадратеЛогарифм от квадрата 1) (lgx) 2 – 3lgx +2 = 0 lg 2 x– 3lgx +2 = 0, lgx = t, t R t 2 - 3t + 2 = 0, t= 1, t = 2 lgx = 1, lgx = 2 x = 10, x = 100 Главное меню Оглавление

Решение неравенств 1. Линейные неравенства Квадратные неравенства 2. Квадратные неравенства Показательные неравенства 3. Показательные неравенства Логарифмические неравенства 4. Логарифмические неравенства Главное меню Вернуться

Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными Выбери линейные неравенства: 1. 2х – 8 > x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление

Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными Выбери линейные неравенства: 1. 2х – 8 > x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление

1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k Если коэффициент при х положительный, то знак неравенства не изменять Если коэффициент при х отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный Главное меню Оглавление

Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт x > 8; Пункт 3. х < - 4; Т.к. – 2

D>0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c < 0 Главное меню Оглавление

Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней); Пункт 2. Записать функцию f(x) >0 или f(x) < 0 ; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Нанести на координатную прямую нули функции и расставить знаки: если коэффициент при х2 положительный, то знаки идут « +,, +»; если отрицательный, то знаки будут «, +, » ; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Главное меню Оглавление

Пример 1. х 2 - 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 - 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление

Пример 2. - х 2 - 3х + 4 0; f(x)= -x 2 - 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1

1. Перенести все в одну сторону 2. Направление ветвей 3. Нули, координатная прямая, знаки: «+ - +» или «- + -» Главное меню Оглавление

Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление

Пример 3. х 2 < 4; х 2 – 4 < 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 < x < - 2 Ответ: х ( -2;2) Главное меню Оглавление

Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление

Пример 5. -х > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= - х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 < 0 – ветви параболы направлены вниз; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. решений нет Ответ: решений нет - Главное меню Оглавление

Пример 6. х x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 - 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление

а > 0 а < 0 У = а t – функция возрастающая. Большему значению t соответствует __________ ____ _ значение функции. большее У = а t – функция возрастающая. Большему значению t соответствует __________ ____ _ значение функции. меньшее Решите неравенства: 1) 2 3х – 1 < 2 x + 4 < 3х – 1 ______ x + 4 х ______ > 2,5 > 2,5 < 2,5 < 2,5 2) (1/2) 3х – 1 < (1/2) x + 4 > 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x - 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) < g(x) f(x) > g(x) a f(x) < a g(x ) ___________ a f(x) > a g(x ) ___________ a f(x) < a g(x ) ___________ f(x) > g(x) f(x) < g(x) 2. Решить согласно полученному основанию 1. Привести все к одному основанию 3 x - 1 > 3 2x x - 1 > 2x, x < -1 Главное меню Оглавление

Неравенства, сводящееся к квадратному: Решите неравенство < t < 5 25 x – 3 5 х = 10 < x – 35 х - 10 < 0 5 х = t t > 0 t 2 – 3t - 10 < 0 t 1 = t 2 = < t < 5 0

1. Определите ограничения; 2. Решите неравенство с новой переменной до конца (без ограничения); 3. Нанесите ограничения; 4. Сделайте обратную замену. Найдите неизвестное. Главное меню Оглавление

Логарифмическое неравенство привести к виду логарифм в левой части, логарифм – в правой части log a f(x) log a g(x) Так как функция у = log а t – функция возрастающая, то Знак неравенства не меняется log a f(x) log a g(x) Знак неравенства меняется Так как функция у = log а t – функция убывающая, то ОДЗ Главное меню Оглавление

Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) < 1, log 1/2 (x 2 – 16) > -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление