Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x),, если существует такая окрестность точки x 0, что для всех х х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ).

Точка х 0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x 0, что для всех х х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x 0 ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Теорема Ферма. Если х 0 точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f'(x 0 ) = 0. В точке экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Точки х 1, х 2, х 3 – стационарные.

Достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума: 1) если производная функции f(x) при переходе через стационарную точку меняет знак с «+» на «», то эта стационарная точка является точкой максимума; 2)если производная функции f(х) при переходе через стационарную точку меняет знак с «» на «+», то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если при переходе через стационарную точку производная не меняет свой знак, то эта точка не является точкой экстремума (на рисунке точка х 2 не является точкой экстремума, поскольку слева и справа от нее f '(x) > 0).