1 Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела § 1. Центр масс § 2. Внешние и внутренние силы § 3. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек § 4. Теорема о движении центра масс § 5. Момент инерции § 6. Моменты инерции некоторых однородных тел § 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера § 8. Теорема об изменении количества движения системы § 1. Центр масс § 2. Внешние и внутренние силы § 3. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек § 4. Теорема о движении центра масс § 5. Момент инерции § 6. Моменты инерции некоторых однородных тел § 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера § 8. Теорема об изменении количества движения системы

2 § 1. Центр масс Механической системой называется совокупность материальных точек или тел, движения которых взаимосвязаны Механической системой называется совокупность материальных точек или тел, движения которых взаимосвязаны Твердое тело - это материальная система, состоящая из частиц, образующих это тело Твердое тело - это материальная система, состоящая из частиц, образующих это тело m k - масса k-ой точки; - её радиус-вектор m k - масса k-ой точки; - её радиус-вектор Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек

3 Центром масс системы, или центром инерции, называют геометрическую точку, радиус-вектор которой Центром масс системы, или центром инерции, называют геометрическую точку, радиус-вектор которой Массой системы называют сумму масс точек, образующих систему Массой системы называют сумму масс точек, образующих систему Координаты центра масс

4 При непрерывном распределении массы суммы переходят в интегралы При непрерывном распределении массы суммы переходят в интегралы Из (1) можно получить

5 § 2. Внешние и внутренние силы Силы называются внешними, если они вызваны действием тел, не входящих в систему Силы называются внешними, если они вызваны действием тел, не входящих в систему Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними exterior - внешность interior - внутренность

6 Свойства внутренних сил 1. Главный вектор внутренних сил системы равен 0 1. Главный вектор внутренних сил системы равен 0 2. Главный момент внутренних сил равен 0 2. Главный момент внутренних сил равен 0

7 § 3. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для каждой точки системы запишем основное уравнение динамики Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для каждой точки системы запишем основное уравнение динамики

8 где k = 1, 2,... n Спроектируем на оси декартовой системы координат (3) – дифференциальные уравнения движения механической системы

9 § 4. Теорема о движении центра масс При изучении движения системы иногда достаточно знать движение центра масс (случай твердого тела) В (2) сложим правые и левые части – центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и к ней приложены внешние силы, действующие на систему (4)

10 Значение теоремы о движении центра масс Дает обоснование методам динамики точки Позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы Следствия 1. Если то Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (равномерно и прямолинейно) или находится в покое

11 то или Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная Пример Пусть человек массы m 1 перешел с одного края неподвижной лодки на другой. Масса лодки m 2. На какое расстояние и в какую сторону переместится лодка? 2. Если не все силы равны нулю, а только проекции на какую-нибудь ось, например, ось Х, т.е.

12 s s xCxC xCxC m 1 m 2 s -? x x x 20 x 10 m 2 g m 1 g R R xCxC xCxC x x x 21 x 11

13 § 5. Момент инерции Моментом инерции тела относительно точки О (или полярным моментом) называется величина x x y y z z O O r r hKhK hKhK xKxK xKxK yKyK yKyK zKzK zKzK Моментом инерции относительно плоскости XY называется величина YZ: XZ: Осевым моментом инерции тела относительно оси Z называется величина K K mKmK mKmK

14 Осевые моменты инерции являются мерой инертности тела при вращательном движении Центробежные моменты инерции Свойства моментов инерции 1. 2.

15 момент инерции можно записать в виде Радиус инерции – это расстояние от оси Z, на котором должна быть расположена масса, равная массе всей системы, чтобы получить её момент инерции Тело или систему тел можно заменить точечной массой, которая располагается на расстоянии ρ Z от оси Z, тогда где М – масса всей системы ; ρ Z – радиус инерции Твердое тело – непрерывная система материальных точек с массами dm, разбивая тело на элементарные части и подставляя в выражение для осевого момента, или ρ – плотность, V – объем тела;

16 § 6. Моменты инерции некоторых однородных тел 1.Тонкий однородный стержень длиной и массой т Z Z Задан стержень АВ, На расстоянии х от оси Z выделим элемент х стержня Х Х А А В В направим ось Х вдоль стержня x x x x Масса этого элемента m = mx/, m/ - масса единицы длины стержня Масса этого элемента m = mx/, m/ - масса единицы длины стержня m m момент инерции стержня запишется Т.к. суммируем по всей длине стержня,

17 2. Тонкий обруч (тонкое круглое однородное кольцо) радиусом R и массой m Однородный диск вращается вокруг оси Z, проходящей через центр масс однородного диска x x y y z z O O mkmk mkmk R R т.к. толщиной обруча можно пренебречь, то Тогда осевой момент инерции обруча - полярный момент инерции обруча

18 Найдем осевые моменты инерции диска относительно оси Х или Y x x y y O O По второму свойству моментов инерции т.к. относительно осей X и Y есть симметрия, то По определению полярный момент инерции и и mkmk mkmk R R

19 2. Тонкая цилиндрическая оболочка радиусом R и массой m Осевой момент инерции такой оболочки относительно оси Z получается аналогичным образом, как и для кольца

20 3. Тонкий круговой диск радиусом R и массой m Определим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr x x y y O O Для выделенного элементарного кольца Чтобы получить для всей пластины, проинтегрируем Площадь этого кольца S = 2 πrdr, масса dm = ρ2 πrdr, где ρ – масса единицы площади пластины r r R R dr

21 3. Однородный круглый цилиндр массы m и радиусом R Разобьем цилиндр на элементарные диски толщиной dz, масса каждого из этих дисков dm = mdz/h просуммируем моменты инерции всех элементарных дисков Моменты инерции цилиндра относительно осей X и Y определяются опять по 2-му свойству и равны Тогда момент инерции каждого диска R R dz x x y y O O z z h h

22 4. Тонкая прямоугольная пластина со сторонами a и b и массой m Направим оси X и Y вдоль сторон прямоугольной пластины x x y y z z O O а а и и Тогда осевые моменты инерции пластины будут определяться так же, как и для стержней - полярный момент инерции пластины a a b b

23 5. Прямой сплошной круглый конус массы m и радиусом R 6. Сплошной однородный шар массы m и радиуса R

24 § 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции зависит от положения оси, относительно которой этот момент вычисляется Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей Z и Z, одна из которых (Z) проходит через центр масс С тела y,y z z z z x x x x C C O O O O C C d d Момент инерции диска, вырезанного в теле, (точка М k принадлежит диску) относительно осей Z и Z y k =y k +d МkМk МkМk x k =x k z k =z k

25 Подставим координаты точки М k в выражения для моментов инерции Подставим координаты точки М k в выражения для моментов инерции Момент инерции системы материальных точек относительно какой-либо оси равен её моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями Момент инерции системы материальных точек относительно какой-либо оси равен её моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями

26 § 8. Теорема об изменении количества движения системы Количеством движения системы называют векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость её центра масс Если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела (системы) равно нулю

27 При сложном движении количество движения не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс Таким образом, количество движения тела можно рассматривать как характеристику поступательного движения тела При сложном движении – как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс тела

28 по свойству внутренних сил Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для каждой точки системы можно записать основное уравнение динамики (1)

29 В проекциях на координатные оси Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил (1) – теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

30 Проинтегрируем уравнение (1) где или Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени – импульс внешних сил

31 Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения системы две разные формы одной и той же теоремы В проекциях на координатные оси

32 Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению Следствия 1. Если то Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная 2. Если то Для эффективного применения теорем изменения и сохранения количества движения необходимо систему координат выбирать так, чтобы неизвестные силы были внутренними

33 1. Определить скорость отдачи ружья, если известна скорость V п и масса m п пули и масса m р ружья Примеры 2. Ракета с реактивным двигателем выбрасывает струю газов со скоростью U, масса ракеты m р уменьшается на величину dm, а скорость ракеты возрастает на величину dV. Определить скорость ракеты Х: – формула К.Э. Циолковского (1857–1935)