Глава 6 Малые колебания системы § 1. Понятие об устойчивости равновесия § 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы 2.1. Свойства малых колебаний точек системы § 3. Малые затухающие колебания системы с 1 степенью свободы § 4. Вынужденные колебания системы с 1 степенью свободы § 1. Понятие об устойчивости равновесия § 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы 2.1. Свойства малых колебаний точек системы § 3. Малые затухающие колебания системы с 1 степенью свободы § 4. Вынужденные колебания системы с 1 степенью свободы

§ 1. Понятие об устойчивости равновесия Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если её можно вывести из этого положения настолько малым возмущением, что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если её можно вывести из этого положения настолько малым возмущением, что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения В противном случае равновесие неустойчивое В противном случае равновесие неустойчивое

Общий критерий равновесия консервативной системы – теорема Лагранжа-Дирихле Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в данном положении является устойчивым Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в данном положении является устойчивым Это лишь достаточное условие устойчивости равновесия, но не необходимое Это лишь достаточное условие устойчивости равновесия, но не необходимое Механическая система, для которой выполняется закон сохранения механической энергии Т+П = const, называется консервативной Механическая система, для которой выполняется закон сохранения механической энергии Т+П = const, называется консервативной

Если потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то Если потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то Пусть консервативная система имеет одну степень свободы Пусть консервативная система имеет одну степень свободы Выберем её так, чтобы при равновесии q = 0 Выберем её так, чтобы при равновесии q = 0 Тогда в положении равновесия Тогда в положении равновесия Чтобы система находилась в устойчивом равновесии, достаточно выполнения условий (1) и (2) Чтобы система находилась в устойчивом равновесии, достаточно выполнения условий (1) и (2) Положение равновесия определяется обобщенной координатой q Положение равновесия определяется обобщенной координатой q

§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы Пусть консервативная механическая система состоит из n материальных точек, имеет одну степень свободы и находится в положении устойчивого равновесия Пусть консервативная механическая система состоит из n материальных точек, имеет одну степень свободы и находится в положении устойчивого равновесия Какое движение она будет совершать, если её вывести из состояния равновесия? Какое движение она будет совершать, если её вывести из состояния равновесия? Положение системы будем определять обобщенной координатой q, выбранной так, чтобы q = 0 при равновесии Положение системы будем определять обобщенной координатой q, выбранной так, чтобы q = 0 при равновесии

Величины Т(q, q) и П(q) достаточно определить тоже приближенно с точностью до q 2 или q 2 Так как равновесие устойчивое, а перемещения малые, то координата q и обобщенная скорость будут величинами малыми Так как равновесие устойчивое, а перемещения малые, то координата q и обобщенная скорость будут величинами малыми Уравнение Лагранжа: Уравнение Лагранжа: Это уравнение можно линеаризовать, сохранив малые величины только в первой степени Это уравнение можно линеаризовать, сохранив малые величины только в первой степени

При стационарных связях для любой точки системы При стационарных связях для любой точки системы тогда тогда и и или или т.к. т.к. и и только функции q только функции q

Разложим в ряд Тейлора функцию Разложим в ряд Тейлора функцию, где, где и сохраним только F(0), т.к. кинетическую энергию надо определить с точностью до q 2 : и сохраним только F(0), т.к. кинетическую энергию надо определить с точностью до q 2 : Т всегда положительная величина, =>, Т всегда положительная величина, =>, - инерционный коэффициент - инерционный коэффициент Его размерность зависит от Его размерность зависит от

Разложим в ряд Тейлора потенциальную энергию П(q), учитывая, что Разложим в ряд Тейлора потенциальную энергию П(q), учитывая, что где где найдем найдем и и - квазиупругий коэффициент, или обобщенный коэффициент жесткости - квазиупругий коэффициент, или обобщенный коэффициент жесткости В частном случае, если q – удлинение пружины, В частном случае, если q – удлинение пружины,

Из равенств (3) и (4) находим Из равенств (3) и (4) находим где где Подставляем их в уравнение Лагранжа и получаем дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы Подставляем их в уравнение Лагранжа и получаем дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы Уравнение (5) совпадает с уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки, и его общее решение Уравнение (5) совпадает с уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки, и его общее решение

Здесь А и α – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям Здесь А и α – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям Установим, как при этом двигаются точки системы Установим, как при этом двигаются точки системы Частота и период этих колебаний определяются Частота и период этих колебаний определяются и и Разложим радиус-вектор одной из точек системы в ряд Тейлора Разложим радиус-вектор одной из точек системы в ряд Тейлора

Возьмем лишь величины первого порядка малости Возьмем лишь величины первого порядка малости Оказывается, что точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами Оказывается, что точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами и и

2.1. Свойства малых колебаний точек системы 2. Т.к. А и α зависят от начальных условий, то амплитуды и начальные фазы малых колебаний точек системы тоже зависят от начальных условий 2. Т.к. А и α зависят от начальных условий, то амплитуды и начальные фазы малых колебаний точек системы тоже зависят от начальных условий 1. Свободные (собственные) колебания системы – гармонические колебания; частота k и период τ этих колебаний не зависят от начальных условий и определяются равенствами 1. Свободные (собственные) колебания системы – гармонические колебания; частота k и период τ этих колебаний не зависят от начальных условий и определяются равенствами и и

4. Все точки системы в каждый момент времени находятся в одной и той же фазе колебаний, т.е. одновременно проходят положения равновесия и одновременно достигают максимального отклонения от этого положения 4. Все точки системы в каждый момент времени находятся в одной и той же фазе колебаний, т.е. одновременно проходят положения равновесия и одновременно достигают максимального отклонения от этого положения 3. Отношения амплитуд колебаний разных точек системы от начальных условий не зависят, т.к. определяются только конфигурацией системы 3. Отношения амплитуд колебаний разных точек системы от начальных условий не зависят, т.к. определяются только конфигурацией системы

На условия равновесия эти силы не влияют, т.к. при равновесии На условия равновесия эти силы не влияют, т.к. при равновесии Пусть кроме потенциальных сил на систему действуют силы вязкого сопротивления (диссипативные силы) Пусть кроме потенциальных сил на систему действуют силы вязкого сопротивления (диссипативные силы) Обобщенную диссипативную силу Q д можно найти Обобщенную диссипативную силу Q д можно найти =>=> => § 3. Малые затухающие колебания системы с 1 степенью свободы

Уравнение Лагранжа Общее решение такого уравнения где Подставим значения этих величин совпадает с общим решением дифференциального уравнения свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости совпадает с общим решением дифференциального уравнения свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости

Выводы 1. При k > b система совершает затухающие колебания с частотой k 1 и периодом τ 1. При k > b система совершает затухающие колебания с частотой k 1 и периодом τ 2. При k b система совершает не колебательное движение 2. При k b система совершает не колебательное движение и и t q

Пусть на систему действуют ещё возмущающие силы и изменяющиеся со временем по закону Пусть на систему действуют ещё возмущающие силы и изменяющиеся со временем по закону Уравнение Лагранжа Уравнение Лагранжа тогда обобщенная возмущающая сила тогда обобщенная возмущающая сила § 4. Вынужденные колебания системы с 1 степенью свободы где где

Общее решение такого уравнения В случае k = p – резонанс Вынужденные колебания Свободные колебания Частота собственных колебаний равна частоте возмущающей силы Частота собственных колебаний равна частоте возмущающей силы

Выводы 1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий 1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий 2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают 2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают 3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик системы не зависит 3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик системы не зависит 4. Даже, если Q 0 мало, можно получить интенсивные вынужденные колебания (случай резонанса) 4. Даже, если Q 0 мало, можно получить интенсивные вынужденные колебания (случай резонанса) 5. Даже при большом Q 0 колебания можно сделать малыми, если p