Решение уравнений с модулями

Определение Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, противоположное число, если оно отрицательно. Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, противоположное число, если оно отрицательно.

Примеры: |3-5|=5-3 |3-5|=5-3 |-х 2 | = х 2 |-х 2 | = х 2 |П-3| = П-3 |П-3| = П-3

Уравнение 1 Решаем уравнение, не раскрывая модуль, а используя свойства |a| 0 Решаем уравнение, не раскрывая модуль, а используя свойства |a| 0 и |a|=|-a| и |a|=|-a| |2x – 4| = 10 – 5x |2x – 4| = 10 – 5x

При условии, что 10-5х 0, х 2, имеем: При условии, что 10-5х 0, х 2, имеем: 2х-4=10-5х или 2х-4=-10+5х 2х-4=10-5х или 2х-4=-10+5х 7х=14 -3х=-6 7х=14 -3х=-6 Х=2 х=2 Х=2 х=2 ОТВЕТ: 2 ОТВЕТ: 2

Уравнение 2 Х 2 +4х+|x+3|+3=0 Х 2 +4х+|x+3|+3=0 Решаем по определению модуля. Решаем по определению модуля. x+3, если х -3 x+3, если х -3 |x+3|= -х-3, если х < -3 |x+3|= -х-3, если х < -3

1 способ Х+3 0 х -3 Х+3 0 х -3 х 2 + 4х+х+3+3=0 х 2 + 4х+х+3+3=0 Х 2 + 5х + 6=0 Х 2 + 5х + 6=0 Х=-2 (не уд.) Х=-2 (не уд.) Х=-3 Х=-3

2 способ Х+3

Уравнение 3 | Х 2 + x-3|=x | Х 2 + x-3|=x В этом уравнении нерационально использовать определение модуля. И при условии, что X 0, имеем: В этом уравнении нерационально использовать определение модуля. И при условии, что X 0, имеем: Х 2 + х – 3=х Х 2 + х -3=-х Х 2 + х – 3=х Х 2 + х -3=-х Х 2 = 3 Х 2 +2х-3=0 Х 2 = 3 Х 2 +2х-3=0 Х= 3 D=16 Х= 3 D=16 х =- 3 (не уд.) Х1=1 х =- 3 (не уд.) Х1=1 Х2=-3 (не уд.) Х2=-3 (не уд.) ОТВЕТ: 3, 1 ОТВЕТ: 3, 1

Уравнение 4 |3Х 2 - 6x – 1| = 2|3-x| |3Х 2 - 6x – 1| = 2|3-x| Возможны два случая при решении. Возможны два случая при решении. При решении этого уравнения используем утверждение: При решении этого уравнения используем утверждение: |a|=|b| a=b |a|=|b| a=b a=-b a=-b

1 способ 3Х 2 - 6х-1=6-2х 3Х 2 - 6х-1=6-2х 3Х 2 - 4х – 7 = 0 3Х 2 - 4х – 7 = 0 D=100 D=100 Х1=7/3 Х1=7/3 Х2=-1 Х2=-1

2 способ 3Х 2 - 6х – 1 = -6+2х 3Х 2 - 6х – 1 = -6+2х 3Х 2 - 8х + 5 = 0 3Х 2 - 8х + 5 = 0 D=4 D=4 Х1=5/3 Х1=5/3 Х2=1 Х2=1 ОТВЕТ: -1, +1, 5/3, 7/3 ОТВЕТ: -1, +1, 5/3, 7/3

Уравнение 5 Х 2 - 3Х 2 /|х|=0 Х 2 - 3Х 2 /|х|=0 О.Д.З х не равен 0 О.Д.З х не равен 0 1 случай 1 случай Х>0 Х>0 Х 2 – 3х =0 Х 2 – 3х =0 Х|x-3|=0 Х|x-3|=0 X=0(не уд.) или х=3 X=0(не уд.) или х=3

2 случай Х

6 Для каждого значения параметра решить уравнение и привести геометрическую интерпретацию полученного решения: Для каждого значения параметра решить уравнение и привести геометрическую интерпретацию полученного решения: |x-2| = a |x-2| = a

Если а0, то x-2=a x= 2+a x-2=-a x= 2-a x-2=-a x= 2-a

7 |x-a| = x |x-a| = x Если а=0, то |х|= х верно для всех неотрицательных х Если а=0, то |х|= х верно для всех неотрицательных х Если а

=) При а=0, х принадлежит [0; ] При а=0, х принадлежит [0; ] а, то х = а/2