А В С О

А О

А В С К М Р

Вписанная и описанная окружности окружность, вписанная в многоугольник окружность, описанная около многоугольника где лежат центры вписанных и описанных около треугольника окружностей свойство и признак описанного и вписанного четырехугольника

Описанная окружность Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. Многоугольник в этом случае вписан в окружность.

Вписанная окружность Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называют вписанной в многоугольник. Многоугольник в этом случае описан около окружности.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность 1. Проведем биссектрисы треугольника. Точка пересечения – точка О. 2. Проведем перпендикуляры к каждой стороне из точки О. 3. OK=OL=OM (по св. бисс. угла) 4. Точки K, L, M – точки касания окружности с центром в т. О и радиусом ОК. 5. Окружность является вписанной в треугольник

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. 1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Точка пересечения – точка О. 2. Проведем отрезки ОА, ОВ, ОС. 3. ОА = ОВ = ОС (по св-ву серед. перпендикуляра к отрезку). 4. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О и радиусом ОА. 5. Окружность является описанной около треугольника.

Где лежат центры вписанных и описанных около треугольника окружностей? О – точка пересечения биссектрис О – точка пересечения серединных перпендикуляров

Свойство и признак описанного и вписанного четырехугольника Свойство: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны А В С D AB + CD = AD + BC

Признак: Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Свойство: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам А В С D

Признак: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусам, то около него можно описать окружность.