Геометрический смысл производной Значение производной функции у=f(x) в точке x=x 0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке x=x 0, т. е. x0x0 y x у=f(x) O y=kx+b касательная

y x у=f(x) O y=kx+b

Задача. Доказать, что для линейной функции y=kx+b справедливо равенство: Решение: ( Скорость изменения функции на промежутке ) Но в треугольнике ABC – прямоугольном, где - угол между прямой y=kx+b и положительным направлением оси Ox y x O y=kx+b

y x у=f(x) O y=kx+b Задача. Доказать, что для линейной функции y=kx+b справедливо равенство: Что и требовалось доказать. Итак, в треугольнике ABC – прямоугольном, где - угол между прямой y=kx+b и положительным направлением оси Ox, тогда

Понятие о касательной Секущая МР - прямая, проходящая через точки М и Р. x0x0 y x у=f(x) O М Р

Понятие о касательной Секущая МР - прямая, проходящая через точки М и Р. Будем поворачивать секущую вокруг точки М, при этом Прямая, представляющая предельное положение секущей – касательная к графику функции в точке М(x 0 ;у 0 ). x0x0 y x у=f(x) O М Р Р Р

Итак,– касательная к графику функции в точке М(x 0 ) – прямая, представляющая предельное положение секущей. Понятие о касательной x0x0 y x у=f(x) O М Р Р Р

Примеры f '(2)= tg 0° = 0 f '(0,2)= - 3 f '(3,8)=3 f(x)=(x-2) 2 +2 f(x)=x 2 -4x+6 Примеры

x y xy касательная Примеры Производная не существует, но касательную построить можно

x y 0 xy Касательную построить нельзя, производная не существует

x y касательная секущая 0 x