Проект по математике «Треугольник простейший и неисчерпаемый» «Треугольник простейший и неисчерпаемый» Выполнили ученицы 9 академического класса Фетисова Мария и Макаренкова Ася

Т еорема к осинусов : Квадрат с тороны треугольника р авен р азности с уммы к вадратов двух д ругих е го с торон и у двоенного п роизведения этих с торон н а к осинус у гла м ежду н ими, т. е. a²=b²+c²-2bc cosα a c b

1 )ABC. 1 )ABC. Д.п. CD - высота. Д.п. CD - высота. 2) ADC : 2) ADC : AD = b cosα, AD = b cosα, DB = c b cosα DB = c b cosα 3) По теореме Пифагора: 3) По теореме Пифагора: h²=b²-(b cosα)² h²=a²-(c-b cosα)² h²=b²-(b cosα)² h²=a²-(c-b cosα)² 4) ADC и BDC: 4) ADC и BDC: b² (b cosα)²= a² (c b cosα)², т.е. b² (b cosα)²= a² (c b cosα)², т.е. a² = b²+ c² 2bc cosα. a² = b²+ c² 2bc cosα. Ч.т.д. Ч.т.д. h c Теорема косинусов квадрат стороны треугольника равен разности суммы квадратов двух других его сторон и удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между нимиCBA D b a

Опр.: т т т трехгранный угол – э э э это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Теорема: cosα = cosβ*cosγ + sinβ*sinγ*cosA, где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

Теорема: cosα = cosβ*cosγ + sinβ*sinγ*cosA, где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ. Доказательство: 1)SM = a, 2) Применим теорему косинусов к Δ SPN и MPN. к Δ SPN и MPN.

Теорема: cosα = cosβ*cosγ + sinβ*sinγ*cosA, где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ. 3) Приравнивая полученные выражения, получим: