Лекции по физике. Механика Законы сохранения. Энергия, импульс и момент импульса механической системы. Условия равновесия

2 Законы сохранения Механическая система – это система тел, выделенных для рассмотрения Действующие на систему силы могут быть внешними и внутренними Если на систему действуют только внутренние силы, то она называется замкнутой

3 Законы сохранения Для замкнутой системы существуют функции координат и скоростей, которые сохраняются со временем – интегралы движения Для системы из N несвязанных частиц существует 6N-1 интегралов движения. Интерес представляют только три аддитивных интеграла движения: энергия, импульс и момент импульса

4 Законы сохранения В основе законов сохранения энергии, импульса и момента импульса лежат соответственно свойства однородности времени, однородности и изотропности пространства Законы сохранения более общие, чем законы Ньютона, они выполняются всегда Использование законов сохранения позволяет облегчить решение задач

5 Закон сохранения энергии Кинетическая энергия Т=1/2mv 2 изолированной частицы сохраняется т.к.

6 Закон сохранения энергии Если F0, то приращение Т: т.е. при действии сил на частицу, изменение её кинетической энергии равно работе сил Для консервативных сил каждой точке пространства можно сопоставить потенциальную энергию тела U(x,y,z)

7 Закон сохранения энергии Работа по перемещению тела в поле A 12 =U 1 -U 2 В случае замкнутой системы T 2 -T 1 =U 1 - U 2 и T 2 +U 2 =T 1 +U 1 или Е 1 =Е 2 Окончательно получим: E=T+U=const(1) Сумма кинетической и потенциальной энергии называется механической энергией

8 Закон сохранения энергии Уравнение (1) выражает закон сохранения энергии: Механическая энергия замкнутой консервативной системы остаётся постоянной В случае системы частиц:

9 Закон сохранения энергии В случае вращательного движения:

10

11 Условия равновесия механической системы Из (1) следует, что кинетическая энергия системы может возрастать только за счёт убыли её потенциальной энергии. Если же Т=0 и система находится в состоянии с минимумом потенциальной энергии, то она не сможет выйти из этого состояния. Такое состояние называют состоянием равновесия

12 Условия равновесия механической системы Необходимым условием равновесия является равенство нулю первой производной потенциальной энергии в данной точке: В зависимости от характера функции U(x,y,z) различают устойчивое ( минимум U) и неустойчивое (максимум U) положения равновесия

13 Условия равновесия механической системы В зависимости от соотношений между кинетической и потенциальной энергией частица может двигаться в ограниченной или неограниченной области пространства Е r

14

15 Закон сохранения импульса Рассмотрим систему из N взаимодействующих частиц. На i-ю частицу действуют внешняя F i ´ и внутренние F ij силы. Тогда: (2) Сложим производные импульсов всех частиц (3)

16 Закон сохранения импульса По третьему закону Ньютона: Поэтому первая сумма в (3) равна нулю и (4) Из (4) следует, что при отсутствии внешних сил p=const. Т.о. мы пришли к закону сохранения импульса

17 Закон сохранения импульса Закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы материальных тел остаётся постоянным Закон сохранения импульса можно использовать и для незамкнутых систем Если сумма сил, действующих на тела, равна нулю Если взаимодействие кратковременное Если одна из проекций внешней силы равна нулю, то для этой проекции справедлив закон сохранения импульса

18

19 Упругие и неупругие взаимодействия При взаимодействии двух тел происходят превращения энергии из одного вида в другой Различают два предельных вида взаимодействий: Упругое взаимодействие Неупругое взаимодействие

20 Упругие и неупругие взаимодействия С помощью законов сохранения энергии и импульса можно решить важную для практики задачу соударения двух тел в случае абсолютно упругого или абсолютно неупругого удара. В этой задаче из известных начальных скоростей и масс тел надо найти их скорости после удара

21 Упругие и неупругие взаимодействия В первом случае механическая энергия взаимодействующих тел не переходит в другие виды энергии (консервативная система) В случае неупругого взаимодействия механическая энергия превращается в другие виды энергии К замкнутой системе закон сохранения энергии применим только в первом случае, а закон сохранения импульса - в обоих

22 Упругие и неупругие взаимодействия После абсолютно неупругого удара тела будут иметь одинаковую скорость: После абсолютно упругого удара скорости тел будут равны:

23

24 Центр масс Центр масс системы – это точка, положение которой задаётся радиус-вектором: Импульс системы может быть представлен как произведение суммарной массы на скорость центра масс:

25 Центр масс Закон сохранения центра масс: У замкнутой системы центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно

26

27 Закон сохранения момента импульса Момент импульса частицы: где r – радиус-вектор частицы Для изолированной частицы:

28 Закон сохранения момента импульса Таким образом мы пришли к закону сохранения момента импульса свободной частицы. Можно показать, что этот закон справедлив и для замкнутой системы взаимодействующих частиц Момент импульса системы частиц: Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы остаётся постоянным

29 Закон сохранения момента импульса Момент импульса незамкнутой системы будет так же сохраняться, если суммарный момент сил действующих на эту систему равен нулю Как и закон сохранения импульса закон сохранения момента импульса можно использовать при рассмотрении столкновений частиц в незамкнутой системе

30 Закон сохранения проекции момента импульса Закон сохранения проекции момента импульса: в незамкнутой системе сохраняется проекция момента импульса на неподвижную ось вращения, если сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю

31

32