Лекции по физике. Механика Динамика вращательного движения. Гироскопы. Неинерциальные системы отсчёта

2 Динамика вращательного движения Для описания вращательного движения вокруг неподвижной оси надо использовать второй закон Ньютона в следующем виде: =M z /J z (1) где J z – момент инерции тела относительно неподвижной оси z, - угловое ускорение, M z – проекция момента силы: (2)

3 Динамика вращательного движения В формуле (2) F – это приложенная сила, а r – радиус- вектор, проведённый от оси вращения к точке приложения силы

4 Динамика вращательного движения В случае действия на тело нескольких внешних сил под М в (2) надо понимать сумму моментов этих сил: В выражение (1) надо подставлять проекцию суммарного момента силы на ось вращения

5 Динамика вращательного движения В общем случае вращающееся тело будет оказывать воздействие на точки в которых закреплена ось Можно показать, что для любого твёрдого тела существуют три оси, проходящих через его центр масс, вокруг которых тело может вращаться свободно, т.е. в точках крепления таких осей силы не действуют. Эти оси называют свободными осями тела

6

7

8 Динамика вращательного движения В более общем виде уравнение динамики вращательного движения (1) может быть записано как: (3) Момент инерции тела J определяется распределением массы по объёму тела

9 Динамика вращательного движения Момент инерции в формуле (3) в общем случае является тензором, т.е. математическим оператором, задающим некоторое правило преобразования векторов. При действии тензора на вектор получается другой вектор Тензоры можно представлять в виде матриц. Момент инерции может быть представлен матрицей размерности 3 3

10 Динамика вращательного движения В общем случае вектор момента импульса L определяется произведением тензора инерции на вектор-столбец угловой скорости: (4)

11 Динамика вращательного движения Значения компонент тензора инерции зависят от распределения масс в системе и её ориентации относительно системы координат Путём преобразования системы координат (поворота) можно получить тензор момента инерции диагонального вида. В этом случае три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс системы, называются её главными осями инерции, а ненулевые компоненты тензора инерции – главными моментами инерции

12 Вычисление моментов инерции В дальнейшем мы будем рассматривать относительно простую задачу вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси. В этом случае момент инерции можно представить скалярной величиной Момент инерции материальной точки определяется по формуле: J=mr 2

13

14 Вычисление моментов инерции Чтобы вычислить момент инерции протяжённого тела, надо разбить его на малые части и посчитать J по формуле: (4) Чтобы получить точное выражение надо в (4) устремить m к нулю и перейти от суммирования к интегрированию Расчёт моментов инерции можно легко выполнить для тел простой формы

15 Вычисление моментов инерции Момент инерции диска (цилиндра) толщиной относительно его оси вращения: dm=2 r dr dJ=r 2 dm dr R

16

17 Вычисление моментов инерции Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец где S – площадь сечения, m – масса, - длина и - плотность материала стержня dm

18 Моменты инерции тел Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр: Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр: Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с его диаметром:

19

20 Теорема Штейнера Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J c относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями: J=J c +ma 2

21 Гироскопы Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг его оси симметрии Гироскопы имеют важное практическое применение. Они стремятся сохранить ориентацию своей оси вращения в пространстве. Этот эффект используется для создания гирокомпасов, являющихся основой современного навигационного оборудования

22 Гироскопы При воздействии на ось гироскопа наблюдается гироскопический эффект, при котором гироскоп начинает совершать относительно сложное движение Если угловая скорость вращения оси гироскопа мала по сравнению с угловой скоростью вращения гироскопа вокруг этой оси, то наблюдается прецессия – медленное вращение оси гироскопа вокруг третьей оси

23

24 Неинерциальные системы отсчёта Законы Ньютона неприменимы в неинерциальных системах отсчёта. Однако, на практике часто возникает задача описания движения тела в неинерциальной системе отсчёта Чтобы решить эту задачу, ускорение тела раскладывают на две компоненты: где - ускорение, возникающее под действием силы, а - в её отсутствие

25 Неинерциальные системы отсчёта С последним ускорением можно формально связать фиктивную силу инерции F in =m. Тогда уравнение движения запишется в виде: Важными частными случаями являются: 1. Системы отсчёта, движущиеся прямолинейно равноускоренно 2. Системы отсчёта, вращающиеся с постоянной угловой скоростью

26 Неинерциальные системы отсчёта Во вращающейся системе отсчёта вводят центробежную силу F цс =m 2 R, направленную от оси вращения, и силу Кориолиса F k Модуль силы Кориолиса определяется с помощью формулы: F k =2m·v· ·sin где v – скорость движения тела во вращающейся системе отсчёта, - угол между векторами и v

27 Неинерциальные системы отсчёта Сила Кориолиса действует перпендикулярно векторам и v Чтобы определить направление силы Кориолиса, надо производить отсчёт угла в направлении от v к по часовой стрелке по отношению к наблюдателю. При sin >0 F k направлена от, а при sin

28

29