Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. А В СFS LND

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Определение М a b a b

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a b a b

Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Признак скрещивающихся прямых D В АВ СD А C ?

а II b а II b Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве а b а bМa b a b a b

38. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые. В b a b aА C ? abD

А D С В B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Каково взаимное положение прямых 1) AD 1 и МN; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) МN и DC? N M

А D С В B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Докажите, что прямые 1) AD и C 1 D 1 ; 2) A 1 D и D 1 C; 3) AB 1 и D 1 C скрещивающиеся. N M

А D СВ B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Основание призмы АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися? 1) D 1 C и C 1 D; 2) C 1 D и AB 1 ; 3) C 1 D и AB; 4) AB и CD.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Теорема о скрещивающихся прямых D С B E A

полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. а

Углы с сонаправленными сторонами A О О1О1О1О1 О2О2О2О2 A1A1A1A1 В2В2В2В2 A2A2A2A2 О3О3О3О3 A3A3A3A3

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Теорема об углах с сонаправленными сторонами О О1О1О1О1 A1A1A1A1 A B1B1B1B1 B

Угол между прямыми a b Пусть - тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен.

a b 30 0 n m Угол между прямыми m и n Угол между прямыми а и b 30 0.

Угол между скрещивающимися прямыми а b а ba bb М Через произвольную точку М 1 проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен mn

Угол между скрещивающимися прямыми а b а ba b М Точку М можно выбрать произвольным образом. m В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 60 0 D В EF СD EF СDА C ? F E

Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =45 0. М D МА ВС С А ? B

т Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = А В D С 128 0

АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 130 0, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1. Найдите угол между прямыми АВ и А 1 D 1. Рассмотрите различные способы.

АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунке АВСD – параллелограмм, ВСC 1 = 120 0, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1. Найдите угол между прямыми ВВ 1 и АD.