Плясуновой Дарьи МОУ СОШ 1 10А класс Свердловская область Нижнесергинский район г. Михайловск

1 Определение 2 Алгебраическое построение 2.1 Целые p-адические числа Стандартное определение Определение через проективный предел Свойства 2.2 p-адические числа Определение как поля частных Свойства 3 Метрическое построение 4 Свойства 5 Применения 6 Литература 7 Ссылки

p-ади́ческое число (произносится: пэ- адическое) элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p- адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность вычетов x n по модулю p n, удовлетворяющих условию Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца -Целые p-адические числа -Стандартное определение

В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел колец вычетов по модулю p n относительно естественных проекций Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы. -Определение через проективный предел

Обычные целые числа вкладываются в кольцо p-адических чисел очевидным образом: x = {x,x,...} и являются подкольцом. Беря в качестве элемента класса вычетов число такое, что мы можем записать каждое целое p- адическое число в виде x = {a 1,a 2,...} однозначным образом. Такой вид называется каноническим. Записывая каждое a n в p-ичной системе счисления и учитывая что мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде или записывая в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления (в нашем примере p=5). -Свойства

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, точно таких, как у исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе 1=…4444=(4). Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается

p-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел. -p-адические числа -Определение как поля частных -Свойства Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p обратимо в кольце, а кратное p однозначно записывается в виде xp n, где x не кратно p и поэтому обратимо, а n > 0, то ясно, что любой ненулевой элемент поля может быть записан в виде xp n, где x не кратно p а n любое, если n отрицательно, то исходя из представления целых p- адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления мы можем записать любое такое p-адическое число в виде последовательности. то есть формально в виде в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа. Так, в той же пятеричной системе имеем:

Любое рациональное число r можно представить как где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n целое. Тогда | r | p p-адическая норма r определяется как p n. Если r = 0, то | r | p = 0. Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой d p, определённой p-адической нормой: d p (x,y) = | x y | p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Норма | r | p продолжается по непрерывности до нормы на

Каждый элемент x-поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда. где n 0 некоторое целое число, а a i целые неотрицательные числа, не превосходящие p 1, а именно взяв в качестве a i цифры из записи p-адического числа x в виде последовательности цифр в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике d p к самому x. p-адическая норма | x | p удовлетворяет сильному неравенству треугольника Числа с условием образуют кольцо целых p- адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел норме | x | p Числа. с условием | x | p = 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами Совокупность чисел с условием | x | p < 1 является главным идеалом в с образующим элементом p.

метрическое пространство гомеоморфно Канторову множеству, а пространство гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой. Для различных p нормы | x | p независимы, а поля неизоморфны Для любых элементов r 2, r 3, r 5, r 7, …, таких что и. можно найти последовательность рациональных чисел x n, таких что для любого p, и

Если - многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения эквивалентна разрешимости уравнения в целых p- адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (Hensels lemma), при n = 1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n = 1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k = 1.

%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE %D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE httpgo.mail.ruframe.htmlq=%F6%E8%F4%F0%FB%20%E2%20%EA%E0 %F0%F2%E8%ED%EA%E0%F5%20%E4%EB%FF%20%E4%E5%F2%E 5%E9&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=4#cf=4