Сфера и Шар Материал к уроку геометрии – 11 класс Учитель математики МОУ Голицынской СОШ 2 Бабурина Е.В.

Сфера входит в число наиболее привлекательных пространственных фигур. Использование в строительстве и архитектуре конструкций, имеющих форму сферы, придает сооружениям особое величие и служит подтверждением тому, что сфера достаточно гармоничная и красивая геометрическая фигура. Определение: Сферой называется поверхность, образованная вращением полуокружности l с центром О и радиуса R= ОA около диаметральной прямой АВ (рис.)

Все точки сферы, полученной при вращении полуокружности L с центром О радиуса R и только они находятся на расстоянии R от точки О. Таким образом, сфера есть множество всех точек пространства, которые находятся на данном расстоянии от данной точки. Точка О называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой- либо точкой сферы, называется радиусом сферы. Все радиусы одной сферы равны между собой. Например, па рисунке 50, в показаны радиусы OF и ОТ. Сфера с центром О и радиуса Rобозначается W(О, R). Прямая АВ называется осью, а точки А и В пересечения ее со сферой полюсами сферы.

Определение: Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Любой диаметр сферы радиуса R равен 2R.

Шаром с центром в точке О и радиуса Rназывается множество всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии, не превосходящем R. Сфера W (O, R) является границей шара с центром в точке О и радиуса R. Радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей шара, называются также радиусом, хордой и диаметром шара.

Теорема 1. Сечение сферы плоскостью есть окружность. Доказательство: Пусть плоскость а пересекает сферу W(O, R). Из центра О опустим перпендикуляр ОС на плоскость а (рис. 51, а, б). Соединим произвольную точку М линии пересечения с точками С и О. Так как ОС_|_а, то ОС_|_СМ. Пусть ОС = d, тогда в прямоугольном треугольнике ОСМ (угол ОСМ = 90°, ОМ =R, OC=d) СМ = Для данной сферы и плоскости величины R и d постоянные, следовательно, СМ есть величина постоянная, т. е. все точки линии пересечения сферы и плоскости равноудалены от точки С, а так как все эти точки лежат в плоскости а, то линия пересечения есть окружность с центром в точке С радиуса r= СМ. Теорема доказана.

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной к сфере. По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку точку касания.

Теорема 2: Плоскость, проходящая перпендикулярно радиусу сферы через его конец, лежащий на сфере, касается сферы. Теорема 3 Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Определение: Сферическим (шаровым) сегментом называется часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Окружность, по которой плоскость пересекает сферу, называется основанием сферических сегментов, на которые плоскость разбивает сферу. Круг, по которому плоскость пересекает шар, называется основанием шаровых сегментов, на которые плоскость разбивает этот шар. Определение: Высотой шарового сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой, ограничивающей шар.

Определение: Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Основаниями шарового слоя называются круги, которые получаются в сечении шара этими плоскостями, а высотой шарового слоя называется расстояние между плоскостями. Сферическим поясом называется часть сферы, расположенная между двумя параллельными секущими плоскостями.