Синтез изображений методом излучательности Алексей Игнатенко Лекция 6 18 мая 2009

Излучательность = Энергетическая светимость Полная энергия, покидающая поверхность единичной площади Обозначение: B (=М) Единицы измерения: Вт/м 2

Трассировка и Излучательность Проблема трассировки лучей – для вычисления глобального освещения нужно трассировать большое количество лучей Вычислительно сложная задача Основная идея излучательности – сохранение светимости поверхностей по мере продвижения света от источников Та же идея, что в трассировке фотонов...

Трассировка

Излучательность

Предположения Алгоритмы излучательности решают уравнение глобального освещения при наборе ограничивающих предположений: Все поверхности ламбертовы (идеально диффузные) Поверхности могут быть поделены на участки (патчи) константной излучательности Излучательность рассчитывается только на поверхностях Требуются дополнительные действия по построению изображения Расчет производится для замкнутой системы Энергия не пропадает Эти предположения позволяют сделать уравнение глобального освещения линейным!

Излучательность диффузных поверхностей Излучательность для диффузных поверхностей Диффузная BRDF в терминах коэффициента отражения поверхности:

Перенос энергии Упрощение формулы глобальной освещенности дает: По прежнему есть интеграл для вычисления освещенности...

Меняем область определения Преобразуем интеграл по телесному углу в интеграл по всем точкам поверхностей сцены

Дискретизация геометрии сцены Предположим, что геометрия разбита на N непересекающихся поверхностей (patches) P i, i=1..N Площадь A i Предположим, что излучательность константна на каждом Положим:

Дискретная запись Заменяем интеграл по точках геометрии на сумму по поверхностям

Форм-Фактор F ij - часть полной энергии, покинувшей площадку P i и полученной площадкой P j Площадка i Площадка j

Площадка i Площадка j Разностная площадь площадок I, j Вектор из dA i в dA j Угол между Normal i и r Угол между Normal j и r Форм-фактор между дифференциальными площадками

Surface i Surface j Полный форм-фактор

Свойства форм-фактора Зависит только от геометрии Обратимость: A i F ij =A j F ji Аддитивность: F i(j k) =F ij +F ik Сумма равна единице Вся энергия, покидающая площадку, должна куда-то придти

Уравнение для дискретной излучательности Это СЛАУ! Размеры M : NxN Большая система Но матрица M имеет некоторые особенности, упрощающие вычисление

Уравнение излучательности Surface i Surface j Radiosity of surface i Emissivity of surface i Reflectivity of surface i Radiosity of surface j Form Factor of surface j relative to surface i

Разбиваем геометрию на площадки Вычисляем форм- факторы Решаем СЛАУ Реконструция и показ решения Излучательность

Разбиваем геометрию на площадки Вычисляем форм- факторы Решаем СЛАУ Реконструция и показ решения Излучательность

Два интеграла для вычисления Площадной по i Площадной по j Площадка i Площадка j

Аналогия Нуссельта Прямое вычисление форм-фактора сложно даже для простых поверхностей! Нуссельт разработал геометрический аналог, который позволяет простое и точное вычисление форм фактора между поверхностью и точкой на другой поверхности

Численное интегрирование: аналогия Нуссельта Это дает форм-фактор F dAiAj dA i AjAj

Аналогия Нуссельта r qjqj площадка A j Сферическая проекция A j cos q j /r 2 qiqi Вторая проекция A j cos q j cos q i /r 2 Единичная площадь p 1.Project A j along its normal: A j cos q j 2.Project result on sphere: A j cos q j / r 2 3.Project result on unit circle: A j cos q j cos q i /r 2 4.Divide by unit circle area: A j cos q j cos q i / pr 2 5.Integrate for all points on A j :

Метод 1: Полукуб Аппроксимация аналога Нуссельта между точкой dA i и полигоном A j Дифференциальная площадь (dA i ) Полигональная площадь (A j )

Полукуб Для удобства используется куб высотой 1 и верхней гранью 2x2. Боковые грани 1x2 Куб разбивается на ячейки (например, 512x512 для верхней грани)

Пример работы полукуба

Метод полукуба 1. Проекция всех площадок сцены на пять граней куба 2. Z буфер для вычисления видимости 3. Суммирование дельта форм-факторов ячеек полукуба покрытых объектами 4. Это дает форм-фактор основания полукуба ко всем площадками

Метод полукуба Достоинства + Первый практический метод + Может использовать аппаратуру + Быстрое вычисления большого количества форм-факторов Недостатки - Вычисляет дифференциально-конечный форм-фактор - Алиасинг - Ошибка видимости - Предположение об удаленности объектов - Высокая сложность вычисления одного форм-фактора

Метод полукуба: алиасинг

Метод 2: Площадная дискретизация AjAj dA i dA j 1.Делим A j на малые части dA j 2. Для всех dA j луч dAj-dAj для поиска V ij Если видимо вычислить F dAidAj суммируем F dAiAj += F dAidAj 3. Имеем F dAiAj луч

Разбиваем геометрию на площадки Вычисляем форм- факторы Решаем СЛАУ Реконструция и показ решения Излучательность

Матрица излучательности EiEi BiBi

«Полноматричное» решение вычисляет форм- факторы всех пар площадок и затем формирует СЛАУ СЛАУ решается для всех Bi Излучение (luminance) найти легко – поверхности диффузные

Решение [F][B] = [E] Прямые методы: O(n 3 ) Гауссово исключение Goral, Torrance, Greenberg, Battaile, 1984 Итеративные методы: O(n 2 ) Сохранение энергии ¨диагонально-доминантная¨ должна сходиться Gauss-Seidel, Jacobi: «Сборка» Nishita, Nakamae, 1985 Cohen, Greenberg, 1985 Southwell: «Бросание» Cohen, Chen, Wallace, Greenberg, 1988

«Сборка» Свет, покидающий площадку, определяется с помощью сбора света с окружения

«Сборка» Сборка света через полукуб позволяет обновить один патч

«Сборка»

«Бросание» «Бросание» света через полукуб позволяет одновременно обновить значения излучательности для всего окружения Для всех j where

«Бросание»

Прогрессивная излучательность

Размеры площадок: Точность

Размеры площадок: Артефакты

Увеличение разрешения

Адаптивное разрешение

Разбиваем геометрию на площадки Вычисляем форм- факторы Решаем СЛАУ Реконструция и показ решения Излучательность

Результаты работы метода излучательности

Cornell box Cindy M. Goral, Kenneth E. Torrance, and Donald P. Greenberg for the 1984 paper Modeling the interaction of Light Between Diffuse Surfaces, Computer Graphics (SIGGRAPH '84 Proceedings), Vol. 18, No. 3, July 1984, pp

The Cornell Box Michael F. Cohen and Donald P. Greenberg for the 1985 paper The Hemi-Cube, A Radiosity Solution for Complex Environments, Vol. 19, No. 3, July 1985, pp The hemi-cube