Лекция февраля 2003 г. (Астана) Прямые Кривые Поверхности

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 2 Алгоритм Брезенхема (1) (прямая) Отрезок, соединяющий P(x1, y1) и Q(x2, y2)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 3 Алгоритм Брезенхема (2) (прямая) F(x,y) = 0 -- точка на отрезке F(x,y) < 0 -- точка выше F(x,y) > 0 -- точка ниже Точка P определена, тогда координаты срединной точки и значение функции в этой точке

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 4 Алгоритм Брезенхема (3) (прямая) Если d < 0, то выбирается Е и Если d 0, то выбирается NE В начальной точке

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 5 Алгоритм Брезенхема (4) (прямая) Одна неприятность -- деление на 2 Чтобы избежать вещественной арифметики, сделаем преобразование

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 6 Алгоритм Брезенхема (5) (окружность) Неявное и явное представление Параметрическое представление

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 7 Алгоритм Брезенхема (6) (окружность)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 8 Алгоритм Брезенхема (7) (окружность) Для точки P c коорд. Для пиксела Е: Для пиксела SE:

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 9 Алгоритм Брезенхема (8) (окружность) В начальной точке (0, R) И опять нужно исключить вещественные операции. Сделав замену h = d-1/4, получим h = 1-R. Тогда необходимо сравнивать h с -1/4, но так как приращения d – целые числа, то сравнивать можно с нулем.

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 10 Обнаружение прямых линий

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 11 Преобразование Хоха (1) (The Hough Transform) y i = ax i +b b = -x i a + y i

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 12 Преобразование Хоха (2) (The Hough Transform) x cos + y sin =

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 13 Преобразование Хоха (3) (The Hough Transform) Прямая x cos j + y sin j = i Окружность (x - c 1 ) 2 + (y - c 2 ) 2 = c 3 2

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 14 Преобразование Хоха (4) (The Hough Transform)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 15 Цепное кодирование (Freemans chain code)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 16 Resampling (Изменение дискретизации)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 17 4-х и 8-ми связное кодирование

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 18 Срезаем углы

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 19 {P 0, P 1, …, P n } {Q 0, R 0, Q 1, R 1, …, Q n-1, R n-1 } Q i = P i = 2n новых точек рассматриваются как новая управляющая ломаная

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 20

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 21

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 22

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 23

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 24

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 25 Три контрольные точки

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 26

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 27 Кривые Безье

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 28 Четыре контрольные точки

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 29

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 30 Шесть контрольных точек

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 31 Задача (1) Ломаная Безье задана тремя точками (0, 0), (0, 9), (18, 0). Определите координаты точки на кривой Безье при t = 1/3.

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 32 Задача (2) Ломаная Безье задана тремя точками (0, 0), (0, 9), (18, 0). Определите координаты точки на кривой Безье при t = 1/3.

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 33 Полиномы Бернштейна P(t) = 3 i=0 P i B i,3 (t)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 34 Кривые Эрмита G H = [P 1, P 4, R 1, R 4 ] T x(t) = T A H = T M H G H T = [t 3 t 2 t 1] x(0) = P 1x = [ ] M H G Hx x(1) = P 4x = [ ] M H G Hx x'(0) = R 1x = [ ] M H G Hx x'(1) = R 4x = [ ] M H G Hx

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 35 P(t) = T M G x(t) = T M G x y(t) = T M G y z(t) = T M G z G H = B H A H A H = (B H ) -1 G H x(t) = T A H = T (B H ) -1 G H = T M H G H

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 36 Смешивающие функции Эрмита (Hermite blending functions) [ ] M H = [ ] [ ] [ ] f 1 (t) = 2t 3 - 3t f 2 (t) = -2t 3 + 3t 2 f 3 (t) = t 3 - 2t 2 + t f 4 (t) = t 3 - t 2

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 37

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 38 P(t) = T M H G H = B H G H = = (2t 3 - 3t 2 + 1)P 1 +(-2t 3 +3t 2 )P 4 + (t 3 - 2t 2 +t)R 1 + (t 3 - t 2 )R 4

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 39

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 40 G 0, G 1 - геометрическая непрерывность Two curve segments are said G k geometric continuous at the joining point if and only if all i-th derivatives, i less than or equal to k, computed with arc length parameters agree at the joining point.

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 41 Two C 0 curve segments are said G 1 geometric continuous at the joining point if and only if vectors f'(u) and g'(v) are in the same direction at the joining point. Note that f'(u) and g'(v) are evaluated at the joining point.

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 42 Задача Заданы два звена сплайна ( t ) = (t, t 2 + 1) и b = (2t + 1, t 3 + 4t + 2), 0

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 43 Связь кривых Эрмита и Безье

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 44 Поверхности Безье

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 45 Непрерывность

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 46 Чайник Юта (1)

27 февраля 2003 г.Компьютерная графика Лекция 10 Астана 47 Чайник Юта (2)