Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Выполнил ученик 10 «П» класса Антонов Антон Проверила: Петрова Г.А.

Цель проекта: Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ Научится решать тригонометрические уравнения Научится решать тригонометрические уравнения Проверить свои знания Проверить свои знания

Решение тригонометрических уравнений сводится, в конечном итоге, к решению простейших тригонометрических уравнений sin x=a, cos x=a, tg x=a с помощью различных преобразований. Решение тригонометрических уравнений сводится, в конечном итоге, к решению простейших тригонометрических уравнений sin x=a, cos x=a, tg x=a с помощью различных преобразований. Прежде чем рассматривать примеры, выделим некоторые типы тригонометрических уравнений. Прежде чем рассматривать примеры, выделим некоторые типы тригонометрических уравнений.

1.Уравнения asin² x+bcos x +c=0 и acos² x+c=0 сводятся к квадратным уравнениям относительно t=cos x и t=sin x. 3sin²x-4sinxcosx+cos²x=0 /cos²x Если cosx=0 то 3sin²x=0 3tg²x-4tgx+1=0 tgx=1 tgx=1/3 x=arctg1/3+ Пn x=arctg1/3+ Пn x=П/4+ Пn

2. Однородное уравнение asin² x+bcos x sinx+cos²x=0, где а не равен 0, равносильно уравнению аtg² x+btgx+c=0. 6sin²x+4sinxcosx-1=0 sin²x+cos²x=1 5sin²x+4sinxcosx-cos²x=0 /cos²x 5tg²x+4tgx-1=0 tgx=1/5 tgx=-1 X=arctg1/5+Пn x=- П/4+ Пk

3. Уравнение acos x+bsin x = c, где abc не равен 0, удобно записать в виде sin(x+f)=c/(a²+b²); здесь f-вспомогательный угол, такой, что sin f=a/(a²+b²), cos f=b/(a²+b²). 3sin5z -2cos5z=3 /13 3sin5z -2cos5z=3 /13 3/13sin5z – 2/13cos5z= 3/13 3/13sin5z – 2/13cos5z= 3/13 3/13=cosf, sinf=2/13 3/13=cosf, sinf=2/13 Cosf*sin5z – sinf*cos5z= 3/13 Cosf*sin5z – sinf*cos5z= 3/13 f=arktg2/3 f=arktg2/3 Sin(5z-f) = 3/13 Sin(5z-f) = 3/13 5z-f=(-1)^n arksin3/13+n П 5z-f=(-1)^n arksin3/13+n П Z=f/5 +[(-1)^n( П/2 - f) +n П ]1/5 Z=f/5 +[(-1)^n( П/2 - f) +n П ]1/5

4. Уравнения. acos2x+bcos²x=c и acos2x + bsin²x=0 сводятся к уравнениям вида cos 2x=m с помощью формулы понижения степени cos²x = 1+cos²x/2, sin²x=1-cos²x/2 4.sin²x+sin² 2x=sin² 3x 1-cos2x/2+1-cos4x/2=sin² 3x 1-sin² 3x=cos2x+cos4x/2 cos² 3x=cos3x cosx cos3x(cosx-cos3x)=0 cos3x cosx sinx=0 x=πn/2, x=π/6+πn/3 Ответ: x=πn/2, x=+-π/6+πn, n Z

5. Уравнение. asin2x +bsin²x=c и asin2x+bcos²x=c можно свести либо к однородным, используя тождество с = с (sin²x +cos² x), либо к уравнениям вида Asin2x + Bcos2x = C, применяя формулы понижения степени. Asin2x+bsin²x=c Asin2x+bsin²x=c 2asinxcosx+bsin²x=c(sin²x+cos²x) 2asinxcosx+bsin²x=c(sin²x+cos²x) -cos²x+2asinxcosx+(b-c)sin²x=0 /cos²x -cos²x+2asinxcosx+(b-c)sin²x=0 /cos²x 2atgx+(b-c)tg²x-1=0 2atgx+(b-c)tg²x-1=0

6.. Уравнение. a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0 сводится к квадратному относительнo t = sinx+cosx, так как sin2x=t² (cos³x –sin³x)=5cos2x (cosx-sinx)(4+4sinx cosx-5(sinx+cosx))=0 cosx-sinx=0 x= π/4+ πn 4+4sinx*cosx-5(sinx+cosx)=0 t=sinx+cosx 2t²-5t+2=0 t=2 sinx+cosx=1/2, то sin(x +π/4)=1/22 x=-π/4+(-1) arcsin1/22+ πn. t=2 sinx+cosx=2 θ т.к Іsinx+cosxІ2 Ответ: x= π/4+ πn x=-π/4+(-1) arcsin1/22+ πn.

Источники информации Алгебра и начала анализа 10-11класс Алгебра и начала анализа 10-11класс Газета «Математика» г. Газета «Математика» г.