Напряженное состояние в точке 1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне b h поперечное сечение наклонное сечение NN N N A A x n P - полное напряжение на наклонной площадке P N = ·AN = P ·A P Поперечное сечение: Наклонное сечение: = 0 0, = = max, = 0 при = 45 0, 0, max = ½

Напряженное состояние в точке 1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне Вывод: Нормальные напряжения достигают экстремальных значений на площадках, где касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными.

Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. x z y dx dz dy Вырежем из тела прямоугольный параллелепипед

Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. Объемное x y z x y z xy yz zy zx xz yx Внимательнее с индексами! Всего 9 неизвестных: 3 нормальных напряжения и 6 касательных

Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. Плоское x y z x y xy yx Смотрим с конца оси z: пусть две грани оси z свободны от напряжений 4 неизвестных. Из условия равновесия: Закон парности касательных напряжений

Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. Линейное x y z x x 1 неизвестная

Напряженное состояние в точке 3. Анализ плоского напряженного состояния. Правило знаков: а) Растягивающие нормальные напряжения, направленные от площадки, считаем положительными; б) Касательные напряжения считаем положительными, если они вращают элемент против хода часовой стрелки.

А С В dА dА sin dА cos Зададим положительные напряжения x y x1x1 y1y1 x y PxPx PyPy y1x1 yx xy Определим напряжения на наклонных площадках F kx = 0; P x dA - x dA cos - xy dA sin = 0, P x = x cos + xy sin (1) F ky = 0; P y dA - y dA sin + yx dA cos = 0, P y = y sin - yx cos (2)

x y x1x1 y1y1 x y PxPx PyPy y1x1 yx xy Определим (сумма проекций P x и P y на нормаль) = P x cos + P y sin = x cos 2 + xy sin cos + y sin 2 - yx sin cos Учитывая xy = - yx = x cos 2 + y sin 2 - yx sin2 (3) Определим (сумма проекций P x и P y на ось y 1 ) y1x1 = P x sin - P y cos = x cos sin + xy sin 2 - y sin cos + yx cos 2 y1x1 = ½ ( x - y ) sin2 + yx cos2 (4)

Таким образом, уравнения (3) и (4) показывают изменение нормальных и касательных напряжений при повороте площадки на угол.

А теперь посмотрим, что происходит с напряжениями на ортогональной площадке. Введем формальную замену: = x1x1 x y1y1 y1 = x cos 2 + y sin 2 - yx sin2 x1y1 = ½ ( x - y ) sin2 + yx cos2 y1 x1y1 y1x1 cos( ) = -sin sin( ) = cos sin( ) = - sin2 cos( ) = -cos2 y1 = x sin 2 + y cos 2 + yx sin2 x1y1 = ½ ( x - y ) (- sin2 ) + yx (-cos2 ) x1

Рассмотрим выражение: x + y = x1 + y1 Таким образом, сумма нормальных напряжений по двум перпендикулярным площадкам не зависит от угла (инвариант)

Напряженное состояние в точке 4. Главные напряжения главными При изменении угла будем получать разные, yx. Экстремальные значения нормальных напряжений называются главными ( min, max ). = x cos 2 + y sin 2 - yx sin2 -2 ( x cos sin - y sin cos - yx cos2 ) = = -2[1/2( x - y )sin2 + yx cos2 ] Т.о. = 0 на главных площадках = ½ ( x - y ) sin2 0 + yx cos2 0 =0