Стандартные распределения и их квантили

Стандартные распределения В статистике, эконометрике и других сферах человеческих знаний очень часто используются стандартные распределения. В частности, они используются для проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Самыми распространенными являются: 1. Нормальное распределение z. 2. Распределение Пирсона или хи-квадрат ( n ). 3. Распределение Стьюдента (t n ). 4. Распределение Фишера ( ).

Стандартные распределения и их квантили 1. Стандартное нормальное распределение (Z) Это распределение возникает как результат сложения многих независимых случайных воздействий. x Эта площадь равна вероятности попадания величины x в интервал [a;b]. ab f(x)

Стандартные распределения и их квантили Нормальный закон определяется двумя параметрами: - математическое ожидание; - среднеквадратичное отклонение; x f(x)

Стандартные распределения и их квантили Нормальный закон определяется двумя параметрами: - математическое ожидание; - среднеквадратичное отклонение; ; x x z x x f(x) Обычно нормальное распределение используется в стандартном виде, где μ=0, =1. Переход от нормально распределенной величины x к величине со стандартным нормальным распределением z:

Стандартные распределения и их квантили Нормальный закон определяется двумя параметрами: - математическое ожидание; - среднеквадратичное отклонение; ; x x z x x f(x) Обычно нормальное распределение используется в стандартном виде, где μ=0, =1. Переход от нормально распределенной величины x к величине со стандартным нормальным распределением z: Где: x – нормально распределенная величина, z – величина со стандартным нормальным распределением.

Стандартные распределения и их квантили x f(z) У нормального распределения есть три стандартных числа:

Стандартные распределения и их квантили x f(z) У нормального распределения есть три стандартных числа: Вероятность попадания x в интервал [μ-1 ; μ+1 ] равна 68%.

Стандартные распределения и их квантили x f(z) У нормального распределения есть три стандартных числа: Вероятность попадания x в интервал [μ-1 ; μ+1 ] равна 68%. Вероятность попадания x в интервал [μ-2 ; μ+2 ] равна 95%.

Стандартные распределения и их квантили У нормального распределения есть три стандартных числа: Вероятность попадания x в интервал [μ-1 ; μ+1 ] равна 68%. Вероятность попадания x в интервал [μ-2 ; μ+2 ] равна 95%. Вероятность попадания x в интервал [μ-3 ; μ+3 ] равна 99,7%. x f(z) Таким образом, на отрезке находятся почти все значения. Это и есть так называемое правило трех сигм.

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность того, что величина х примет значение больше числа a и меньше числа b равна площади под кривой f(x) на отрезке [a;b]. Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1.

1. Интегральный закон распределения (z) Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность того, что величина х примет значение больше числа a и меньше числа b равна площади под кривой f(x) на отрезке [a;b]. Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1. Стандартные распределения и их квантили z f(z) – плотность вероятности f(z)

1. Интегральный закон распределения (z) Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность того, что величина х примет значение больше числа a и меньше числа b равна площади под кривой f(x) на отрезке [a;b]. Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1. Интегральная функция является интегралом от функции распределения Стандартные распределения и их квантили z z f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения F(z) f(z)

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z f(z) – плотность вероятности f(z)

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z z f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения F(z) f(z) p

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z z f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения F(z) f(z) p эта площадь равна F(1), она дает точку на графике интегрального закона распределения

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z z эта площадь равна F(1), она дает точку на графике интегрального закона распределения f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения F(z) f(z) Квантиль – это аргумент функции распределения, которой соответствует заданная вероятность p. p

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z z эта площадь равна F(1), она дает точку на графике интегрального закона распределения f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения F(z) f(z) Квантиль – это аргумент функции распределения, которой соответствует заданная вероятность p. То есть, если выразить вероятность в виде То квантилем будет z, вычисленное из p. p

Стандартные распределения и их квантили 1. Интегральный закон распределения (z) z z f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения f(z) эта площадь равна F(2), она дает точку на графике интегрального закона распределения F(z) p Квантиль – это аргумент функции распределения, которой соответствует заданная вероятность p. То есть, если выразить вероятность в виде То квантилем будет z, вычисленное из p.

Стандартные распределения и их квантили Квантили нормального распределения (z) z z f(z) – плотность вероятности f(z) Границам интервала на левом графике соответствуют значения p 1,p 2 на правом графике. p2p2 p1p1 F(z) F(z) – интегральный закон распределения

Стандартные распределения и их квантили Квантили нормального распределения (z) z z f(z) – плотность вероятности F(z) – интегральный закон распределения f(z) F(z) p2p2 p1p1 Границам интервала на левом графике соответствуют значения p 1,p 2 на правом графике.

Стандартные распределения и их квантили 1. Таблица нормального распределения (z) Так как формула нормального распределения очень сложна, используются статистические таблицы: z

Стандартные распределения и их квантили 1. Таблица нормального распределения (z) Так как формула нормального распределения очень сложна, используются статистические таблицы: Чтобы определить квантиль по заданной вероятности, необходимо найти ближайшее к ней число в таблице и сложить значения соответствующих строки и столбца. Строки соответствуют значениям z с точностью до десятой доли, а столбцы соответствуют их уточнениям до сотых долей. z

Стандартные распределения и их квантили 1. Таблица нормального распределения (z) Так как формула нормального распределения очень сложна, используются статистические таблицы: Чтобы определить квантиль по заданной вероятности, необходимо найти ближайшее к ней число в таблице и сложить значения соответствующих строки и столбца. Строки соответствуют значениям z с точностью до десятой доли, а столбцы соответствуют их уточнениям до сотых долей. Например, известно, что z = 0,31, выделяем сотые доли, т.е. z = 0,3+0,01, значит F(z) находится на пересечении четвертой строки и второго столбца, и F(z) = 0, z

Стандартные распределения и их квантили 1. Таблица нормального распределения (z) В некоторых случаях таблицы бывают представлены в более компактном виде: остаются только дробные части всех или некоторых приведенных чисел. То есть иногда в таблице отсутствуют некоторые нули и запятые. z

Стандартные распределения и их квантили 2. Распределение Пирсона или хи-квадрат ( ). Это распределение возникает как результат сложения квадратов нескольких величин, подчиняющихся нормальному закону с μ=0, =1. Число слагаемых n называется числом степеней свободы. Смысл f( ) такой же, как и в нормальном законе: вероятность того, что величина попадает в заданный интервал, равна площади под кривой f( ). Так, площадь под кривой на отрезке от 0 до n n составляет более 90% всей площади под всей кривой f( ). Отсюда следует правило трех сигм для закона : с вероятностью р 0,9 случайная величина не превосходит величины n n.

Стандартные распределения и их квантили 2. Таблица распределения хи-квадрат ( ). Чтобы определить квантиль по заданной вероятности и числу степеней свободы, необходимо найти пересечение соответствующей строки и столбца. Столбцам таблицы соответствуют вероятности, а строкам - число степеней свободы. В ячейках таблицы содержатся значения (квантили). p n

Стандартные распределения и их квантили 2. Таблица распределения хи-квадрат ( ). Чтобы определить квантиль по заданной вероятности и числу степеней свободы, необходимо найти пересечение соответствующей строки и столбца. Столбцам таблицы соответствуют вероятности, а строкам - число степеней свободы. В ячейках таблицы содержатся значения (квантили). Например, для числа степеней свободы n=3 и p =0,975, найдем = 9,35. p n

Стандартные распределения и их квантили 3. Распределение Стьюдента (t n ). Это отношение стандартной нормальной величины к корню из хи-квадрат, деленной на число степеней свободы. «Стьюдент» - это псевдоним английского статистика Уилльяма Госсета (William Gosset).

Стандартные распределения и их квантили 3. Таблица распределения Стьюдента (t n ). Чтобы определить квантиль по заданной вероятности и числу степеней свободы, необходимо найти пересечение соответствующей строки и столбца. Столбцам таблицы соответствуют вероятности, а строкам - число степеней свободы. В ячейках таблицы содержатся значения t (квантили). p n

Стандартные распределения и их квантили 3. Таблица распределения Стьюдента (t n ). Чтобы определить квантиль по заданной вероятности и числу степеней свободы, необходимо найти пересечение соответствующей строки и столбца. Столбцам таблицы соответствуют вероятности, а строкам - число степеней свободы. В ячейках таблицы содержатся значения t (квантили). Например, мы ищем квантиль для односторонней критической области: Для числа степеней свободы n=4 и p =0,025, найдем t = 2,78. p n

Стандартные распределения и их квантили 4. Распределение Фишера ( ). Это отношение двух хи-квадратов, деленных на число степеней свободы. Распределение имеет 2 степени свободы: для числителя и для знаменателя. n 1, n 2 - число степеней свободы.

Стандартные распределения и их квантили 4. Распределение Фишера ( ). Это отношение двух хи-квадратов, деленных на число степеней свободы. Распределение имеет 2 степени свободы: для числителя и для знаменателя. n 1, n 2 - число степеней свободы. Обычно используется при сравнении двух дисперсий, так как дисперсия равна сумме квадратов отклонений от среднего значения, деленная на число точек.

Стандартные распределения и их квантили Для распределения Фишера создано несколько отдельных таблиц, каждая из которых соответствует своему значению вероятности p. На данном слайде изображена таблица для p=0, Таблица распределения Фишера ( ). n1n1 n2n2

Стандартные распределения и их квантили Для распределения Фишера создано несколько отдельных таблиц, каждая из которых соответствует своему значению вероятности p. На данном слайде изображена таблица для p=0,95. Строкам таблицы соответствуют значения n 2, столбцам соответствуют значения n Таблица распределения Фишера ( ). n1n1 n2n2

Стандартные распределения и их квантили Для распределения Фишера создано несколько отдельных таблиц, каждая из которых соответствует своему значению вероятности p. На данном слайде изображена таблица для p=0,95. Строкам таблицы соответствуют значения n 2, столбцам соответствуют значения n 1. Чтобы найти квантиль по заданной вероятности p и n 1, n 2, возьмем таблицу для соответствующей вероятности p и найдем значение на пересечении строки n 2 со столбцом n 1. Например, для p=0,95, n 1 =3, n 2 =4, квантилем будет 6, Таблица распределения Фишера ( ). n1n1 n2n2

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ