Тема: Теорема о трех перпендикулярах. Цели: изучение теоремы (доказательство теоремы разными способами); формирование навыков решения задач с использованием теоремы; развитие логической культуры учащихся. Тип урока : получение новых знаний. Оборудование: мультимедийная доска, ПК, карточки с заданиями, учебник.

На этом уроке учащиеся ознакомятся с важными теоретическими знаниями, которые они смогут применять для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве. I.Организационный момент. II.Формирование цели и задачи урока, мотивация учебной деятельности. a α А Как найти расстояние от точки А до прямой а?

В каких задачах используют теорему о трех перпендикулярах? На рисунках 1-4 МА перпендикулярна плоскости АВС. По рисункам обоснуйте расстояние от точки М до прямой ВС. A B D C M M A B C D ADC=90

В каких задачах используют теорему о трех перпендикулярах? На рисунках 1-4 МА перпендикулярна плоскости АВС. По рисункам обоснуйте расстояние от точки М до прямой ВС. D C A M ABCD - ромб A C B M ВС – касательная к окружности

III.Актуализация опорных знаний. Что называют перпендикуляром к плоскости? Что называют наклонной к плоскости? Что называют основанием перпендикуляра? Что называют основанием наклонной? А BC α A BC a

IV.Восприятие нового материала. Теорема: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной. Доказательство теоремы проводится с использованием программы «УМК живая математика»

Первый шаг От точки А отложим MA=AN. Соединим M и N с S и O. В этом случае AO одновременно медиана и высота. Следовательно MON – равнобедренный треугольник, где NO=OM.

Второй шаг Прямоугольные треугольники SOM и SON равны по двум катетам ( NO=OM, SO – общая сторона).

Третий шаг Из предыдущего шага следует, что NSM – равнобедренный треуогольник, а значит SA – одновременно медиана и высота. То есть AS перпендикулярна MN, что и требовалось доказать.

Доказательство 2 Допустим, что SA не перпендикулярна прямой l. Проведем SB l, тогда SA>SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: OA 2 =SA 2 -SO 2. OB 2 =SB 2 -SO 2 Получаем: OA>OB. Между тем OA

Доказательство 3 На прямой m отметим произвольную точку B и соединим с точками O и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA, OAB: SB²=SO²+OB²; SA²=SO²+OA²; OB²=OA²=AB²; S O B C A m

Доказательство 3 Вычтя почленно из первого равенства второе, получим: SB²=SA²=OB²=OA² Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB²=SA²=AB². SB²=SA²+AB². Согласно обратной теореме Пифагора: SA AB, т.е. m SA.

V.Решение задач: Учебник 5.39, Дано: DA (ABC), угол BAC=30°, угол ABC=60° Доказать: СВ AC. А B C D Дано: DA (ABC), угол BAC=40°, угол ACB=50° Доказать: СВ BD. АB D C

Математический диктант ABCD – прямоугольник, SA (ABC). Вариант 1 – SA= см, AB = 1 см, AD = 3 см; Вариант 2 – SA= см, AB = 1 см, AD = 2 см; Пользуясь изображением, найдите: 1)Длину отрезка SB; (2 балла) 2)Длину диагонали AC; (2 балла) 3)Длину отрезка SD; (2 балла) 4)Величину угла SBC; (2 балла) 5) Величину угла SDC; (2 балла) 6)Площадь треугольника SDC. (2 балла) B С D A S

Ответы Вариант 1 1)2 см; 2) см; 3) см; 4)90°; 5)90°; 6) см Вариант 2 1) см; 2) см; 3) см; 4)90°; 5)90°; 6) см;

VI.Домашнее задание: 1)§ 5.3, теорема. 2)N 5.63 – учебник. 3)«Разноуровневые дидактические материалы» под редакцией А.П. Ершовой. С-10 по вариантам уровни: АN 1; 2. Б N 3

VII. Подведение итогов урока Вопросы к классу: 1)Сформулировать теорему о тех перпендикулярах. 2)Какие теоремы и определения использовали для доказательства этой теоремы? 3)Укажите взаимное расположение прямых a и b. ABCD – квадрат, SB (ABC) ABCD – ромб, SB (ABC) C DA B S a b O A B C D b a S

Спасибо за внимание!