Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка

Пример Рассмотрим множество несобственных матриц – линейную группу порядка n. Рассмотрим матрицы, определители которых равны единице. L n (1) L n. det (A 1 *A 2 )=det A 1 *det A 2. Отсюда следует, что определитель произведения двух матриц из L n (1) равен единице, поэтому L n (1) подгруппа группы L n.

Пример Пример конечной подгруппы L n : {E,-E} L n. Докажем, что это подгруппа. замкнутость относительно операций E*E=E, E*-E=-E, -E*-E=E E {E,-E}. Если условия выполняются, значит, мы имеем дело с подгруппой.

Истинная подгруппа Каждая группа G обладает единичной подгруппой E={e}. Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной (нетривиальной) подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными (тривиальными) подгруппами группы G, все остальные собственными.

Циклическая группа Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается. Если M состоит из одного элемента a, то называется циклической подгруппой элемента a. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой. Если группа G 1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G 1 может быть вложена в группу G.

Кольцо Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с R справедливы равенства a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca.

Коммутативное кольцо Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом. Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную операцию, поэтому его тип – (2,2,1).

Тело Когда группа коммутативна, ее единица называется нулем кольца. Но в кольце может быть единица, т.е. нейтральный элемент по отношению к умножению. Если при этом в кольце R элементы не равны нулю и образуют относительно операции умножения группу, она называется телом. Единица этой группы называется единицей тела. Рассмотрим множество целых чисел – кольцо с единицей, не тело, т.к. нет обратного кроме единицы по отношению к умножению. Множество квадратных матриц данной размерности – кольцо с единицей, не тело.

Поле Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b. Другими словами, для любой пары элементов a 0 и b уравнение ax = b имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример Алгебра (Z;+) является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение 2х=3 в ней неразрешимо. Алгебра (Q;+;*) является полем и называется полем рациональных чисел. Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число поле.

Алгебра вычетов Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число поле. Деление: остаток меньше модуля m, остаток (0, 1, …, m-1) {K 0 ; K 1 ;…, K 8 }=M – остаток при делении на девять. Построим на этом множестве М алгебру K s K i =K p

Таблица Кэли Чтобы задать операцию, зададим таблицу Кэли. Таблица Кэли в абстрактной алгебре таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.

k 3 =C*9+3 k 5 =C*9+5 k 3 +k 5 =(C+C) mod 9=8 5 8 mod 9=4 6 5 mod 9=2

m=5 a b mod m=

Умножение по модулю m a b mod 5 k 3 =C5+3 k 2 =C5+2 k 1 =k 2 k 3 =CC25+(C+C)5+6

Свойства колец с единицей 0*x=x*0=0 Если y R, то (-x)y=x(-y)=-xy, где - обозначение обратной операции в аддитивной группе кольца. Доказательство: (-x)y+xy=(- x+x)y=0*y=0, x(-y)+xy=x(-y+y)=x*0=0. Значит, (-x)y=x(-y)=-xy

Решетка Решёткой называется множество M, частично упорядоченное отношением нестрогого порядка, с двумя бинарными операциями и, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки): 1. a a=a; aa=a (идемподентность); 2. a b=b a; ab=ba (коммутативность); 3. (a b) c=a (b c); (ab)c=a(bc) (ассоциативность); 4. ab) a=a, (a b)a=a (поглощение).

Решетки Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия a (bc)=(a b)(a c), и a(b c)=(ab) (ac). Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется, то он называется нижней гранью (нулём) решётки. Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется, то он называется верхней гранью (единицей) решётки. Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Дополнение Теорема. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная. В ограниченной решётке элемент a –1 называется дополнением элемента a, если aa –1 =0 и a a –1 =1.

Примеры Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых a,b M, что a b=max(a,b) и ab=min(a,b). Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: ab, если a является делителем b. Тогда a b есть наименьшее общее кратное этих чисел, а ab их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.