Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Метод вариации постоянных Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения. Суть метода в следующем. Если известна фундаментальная система решений y 1 (x), y 2 (x), …, y n (x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде y(x) = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) + …+ C n (x) y n (x).

Метод вариации постоянных Тогда Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций C i (x), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

Метод вариации постоянных Опять положим и т.д.

Метод вариации постоянных Для n-ой производной получим Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции y i (x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим

Метод вариации постоянных Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных получим систему уравнений

Метод вариации постоянных Находя решение и интегрируя, найдём C i (x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения y(x) = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) + …+ C n (x) y n (x).

Решите уравнения Решить задачу Коши для однородного дифференциального уравнения y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1. Решить задачу Коши y'' + y' = 0, y(0)=1, y'(0)=0. Решить задачу Коши y'' - y' = 0, y(0)= 1, y' (0)=1. Решить задачу Коши y'' + 4y'+ 4y= 0, y(0)=1, y' (0)=-2. Решить задачу Коши y'' - y' + 2y= 0, y(0)=- 1, y' (0)=0. Решить задачу Коши y'' + y' - 3y= 0, y(0)=0, y' (0)=1. Решить методом вариации постоянных y+4y-5y=x e x. Решить методом вариации постоянных y-3y+2y=e 3x.