Решение задачи Коши операционным методом

Функция-оригинал Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения. Функцией-оригиналом называется функция f(x) для которой справедливо: f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f(x)=0 при x

Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа функции f(x) называется функция Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) - оригиналом для F(p).

Отыскание изображения и оригинала Найти изображения заданных функций-оригиналов f(x)=ax и f(x)=e -x. Для проверки правильности вычислений выполним обратное преобразование. Найдем оригиналы заданных изображений F(p)=a/p 2 и F(p)=1/(p+1).

Изображения функций Записать изображения элементарных функций 1 Sin(at) Cos(at) Cos a(t-t 0 ) e -at e -at sin(bt) e -at cos(bt) t n f(t) te -at t sin(at) t cos(at) t n f(t)/t σ 0 (t-h) f (n) (t), f(0)=… …=f (n-1) (0)=0

Основные свойства преобразования Лапласа Основные свойства преобразования Лапласа, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие: оригинал восстанавливается по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности; если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x), то изображением для af(x)+bg(x) является aF(p) +bG(p) - линейность преобразования Лапласа; изображением для производной f (n) (x) является функция p n F(p)-p n-1 f(0)-p n-2 f'(0)-…-pf (n-2) (0)-f (n-1) (0) - изображение производных; если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением для f(x-a) является e -ap F(p) - теорема запаздывания.

Алгоритм решения задачи Коши Рассмотрим задачу Коши: y (n) +a 1 y (n-1) +…+a n y=f(x); y(0)=y 0, y(0)=y 1, …, y (n-1) (0)=y n-1 ; a 1, a 2, …, a n - постоянные. Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x). Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: (p n Y(p)-p n-1 y 0 -…-y n-1 )+a 1 (p n-1 Y(p)-p n-2 y 0 -…-y n-2 )+…+a n Y(p)=F(p) или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены. Отсюда Y(p)=(F(p)-B(p))/A(p) и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).

Решение задачи Коши Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решим операционным методом задачу Коши x''+4x=cos 2t, x(0)=1, x'(0)=-1. Проверим правильность решения.

Задание Решить операционным методом задачу Коши 1. x''+4x=2, x 0 =x' 0 =0 2. x''-x=1/(1+e t ), x(0)=x'(0)=0 3. x'+x=e -2t, x(0)=1 4. x''+x=1, x(0)=0, x'(0)=1 5. x''+2x'-3x=e -t, x(0)=0, x'(0)=1 6. x'''+2x'=t sin t, x(0)=0, x'(0)=0