Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка y (n) + a 1 (x) y (n-1) a n-1 (x) y' + a n (x) y = f(x), где y = y(x) неизвестная функция, a 1 (x), a 2 (x),..., a n-1 (x), a n (x), f(x) известные, непрерывные, справедливо: если y 1 (x) и y 2 (x) два решения неоднородного уравнения, то функция y(x) = y 1( x) - y 2 (x) решение соответствующего однородного уравнения; если y 1 (x) решение неоднородного уравнения, а y 2 (x) решение соответствующего однородного уравнения, то функция y(x)=y 1 (x)+y 2 (x) решение неоднородного уравнения.

Общее решение Если y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) n линейно независимых решений однородного уравнения, а y ч (x) произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений x 0, y 0, y 0,1,..., y 0,n-1 существуют такие значения c * 1, c * n,..., c * n, что решение y * (x)=c * 1 y 1 (x)+c * 2 y 2 (x)+...+c * n y n (x)+y ч (x) удовлетворяет при x = x 0 начальным условиям. Выражение y(x)=c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x) + y ч (x) называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Метод подбора решений Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида: P k (x)exp(ax)cos(bx) + Q m (x)exp(ax)sin(bx), где P k (x), Q m (x) многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора. Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем. Искомое решение уравнения записывается в виде: (P r (x)exp(ax)cos(bx) + Q r (x)exp(ax)sin(bx))xs, где P r (x), Q r (x) многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами p r, p r-1,..., p 1, p 0, q r, q r-1,..., q 1, q 0.

Резонанс Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень l=a±ib кратности s. Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x s. Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.

Алгоритм отыскания общего решения Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны. Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x t exp(ax)sin(bx), x t exp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t. Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

Алгоритм Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует найти общее решение соответствующего однородного уравнения записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения, записать фундаментальную систему решений y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x); найти любое частное решение неоднородного уравнения y ч (x); записать выражение для общего решения y(x)= c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x) + y ч (x).

Решение задачи Коши Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c 1,..., c n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений c 1 y 1 (x 0 ) + c 2 y 2 (x 0 ) c n y n (x 0 ) + y ч (x 0 )= y 0, c 1 y' 1 (x 0 ) + c 2 y' 2 (x 0 ) c n y' n (x 0 ) + y ч (x 0 )=y 0,1, , c 1 y 1 (n-1) (x 0 ) + c 2 y 2 (n-1) (x 0 ) c n y n (n-1) (x 0 ) + y ч (x 0 )= y 0,n-1

Задание y''' + 3y'' - 4y= 1- x 2. y''' + 3y''- 4y' = 1 + x - x 2. y''' + 3y''- 4y' = (1 + x)exp(-x). y''' + 3y''- 4y' = (1 + x)exp(x). y''' + y' = xsinx+3cosx, y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=0.

Задание y'' + y' = cos(x)+ x+ exp(x), y(0) = 1, y'(0) = 0. y'' - y' +2y = (1- cos(x))exp(x), y(0)=- 1, y (0)=0. y'' + y' -3y = sh(3x), y(0) = 0, y'(0) = 1. y'' +4 y'+4y =5, y(0) = 1, y'(0) = -2. y'' + y' = xcos(x) +sin(x), y(0) = 1, y'(0)=1.