Вынужденные колебания Динамическое уравнение и его решение

Если на систему, кроме квазиупругой силы и силы сопротивления, действует также внешняя периодическая сила, система будет совершать вынужденные колебания.

Пусть внешняя сила (будем называть эту силу вынуждающей) изменяется по гармоническому закону: где - амплитуда периодически изменяющейся силы, - циклическая частота.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет следующий вид: где,,

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения складывается из двух частей: общего решения соответствующего однородного уравнения, которое определяет затухающие колебания: и частного решения:

Затухающие колебания играют роль только на этапе установления колебаний. Установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону - амплитуда установившихся вынужденных колебаний, - сдвиг фаз между колебаниями координаты и вынуждаюшей силы.

Подставив решение в динамическое уравнение, получим : Приведем его к виду:

Применим метод векторных амплитуд

Из рисунка получим: Продифференцируем выражение для амплитуды

При частоте амплитуда вынужденных колебаний достигает своего максимума

Резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы.