Сложение гармонических колебаний Метод векторных амплитуд Биения Фигуры Лиссажу

Метод векторных амплитуд Сложение колебаний в общем случае производится аналитически, но в ряде случаев может быть осуществлено геометрически, при помощи так называемого вектора амплитуды.

Метод векторных амплитуд Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, взятой на оси х, с угловой скоростью, то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой по закону: – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени.

Метод векторных амплитуд Пусть складываемые колебания описываются уравнениями: где

Метод векторных амплитуд Результирующее смещение в любой момент времени равно алгебраической сумме смещений и : Выполним это сложение геометрически, с помощью векторов амплитуды.

Метод векторных амплитуд Изобразим положения векторов амплитуды в начальный момент времени.

Метод векторных амплитуд Проекция конца вектора определяет результирующее смещение в начальный момент времени: Так как оба вектора и вращаются в процессе колебаний с одной и той же угловой скоростью, с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды.

Метод векторных амплитуд По теореме косинусов получаем: Из рисунка

Биения Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой. Начальные фазы положим равными нулю, а амплитуды одинаковыми.

Биения Уравнения данных колебаний: Так как ω 1 Векторы амплитуды складываемых колебаний будут вращаться с разными угловыми скоростями. Это приведёт к тому, что вектор результирующей амплитуды будет пульсировать по величине.

Биения Результирующее колебание равно сумме Применим формулу для суммы косинусов

Биения Множитель, выделенный вертикальными чертами, изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель, и может рассматриваться как амплитуда.

Биения Биения можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, амплитуда которого изменяется по закону:

Фигуры Лиссажу Рассмотрим сложение колебаний, происходящих во взаимоперпендикулярных направлениях

Фигуры Лиссажу Выполним преобразования

Фигуры Лиссажу Раскроем косинус суммы аргументов

Фигуры Лиссажу Выполним преобразования

Фигуры Лиссажу Данное уравнение – это уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно осей x и y произвольно

Фигуры Лиссажу Рассмотрим частные случаи: (разность фаз равна нулю)

Фигуры Лиссажу Разность фаз равна

Фигуры Лиссажу Разность фаз