Затухающие колебания Логарифмический декремент затухания Добротность

Сопротивление среды Действие среды может быть учтено в дифференциальном уравнении колебаний введением дополнительной силы сопротивления. В отсутствие трения и при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости :, где r – коэффициент сопротивления.

Динамическое уравнение затухающих колебаний При наличии сопротивления ускорение материальной точки, совершающей колебания, обусловлено действием двух сил: возвращающей (квазиупругой) и силы сопротивления. По второму закону Ньютона:

Динамическое уравнение затухающих колебаний В проекциях на ось ОХ :

Динамическое уравнение затухающих колебаний Разделим обе части этого уравнения на т, и введем обозначения Получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Кинематическое уравнение затухающих колебаний Решением данного дифференциального уравнения является функция - циклическая частота затухающих колебаний; - коэффициент затухания – величина, характеризующая быстроту затухания.

Амплитуда затухающих колебаний Затухающие колебания не являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону:

Частота и период Циклическая частота собственных затухающих колебаний системы связана с циклической частотой свободных незатухающих колебаний этой же системы соотношением: - период затухающих колебаний

Декремент затухания Отношение двух последующих амплитуд, т.е. амплитуд в моменты времени t и называется декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания: Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.

Время релаксации Важной характеристикой затухающих колебаний является также время релаксации, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации.

Логарифмический декремент затухания За время затухания (релаксации) система совершит колебаний. Подставив в это соотношение соответствующие выражения, получим Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность Колебательную систему можно характеризовать её способностью изменять энергию колебаний за определённый период времени. Величина, равная, называется добротностью колебательной системы.

Добротность Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому добротность можно записать в виде :

Добротность Подставив значение в последнее равенство и сделав преобразования, получим значения для добротности, определяемые через различные параметры колебательной системы :