Теорема Остроградского- Гаусса Силовые линии. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

Силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности Силовые линии

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Силовые линии

Силовые линии диполя направлены от положительного заряда к отрицательному

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно либо пропорционально модулю вектора напряженности в данном месте. Силовые линии

Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность Так как густота линий равна модулю вектора напряженности поля, то поток через элементарную площадку может быть определен как где

Поток вектора напряженности Только в пределах элементарной площадки в общем случае вектор можно считать постоянным. Для произвольной поверхности поток через нее определяется Для однородного поля

Поток вектора напряженности

Поток величина алгебраическая (скаляр), зависящая от выбора направления нормали (угла между направлением нормали и вектором напряженности поля ). Может быть положителен, отрицателен, равен нулю. В случае замкнутой поверхности выбирают внешнюю нормаль.

Теорема Остроградского -Гаусса Поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на,

Подсчитаем поток вектора напряженности поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд. Так как поток определяется числом линий, пересекающих поверхность, то очевидно, что число линий, пересекающих поверхность и число линий, пересекающих сферу произвольного радиуса с центром в точке, где находится заряд, одно и тоже. Теорема Остроградского -Гаусса

В каждой точке поверхности S 1 проекция вектора на направление внешней нормали одинакова и равна Тогда поток через эту поверхность равен

Теорема Остроградского -Гаусса Аналогичные расчеты можно провести и для сферы В силу непрерывности силовых линий тот же результат будет справедлив для любой поверхности, охватывающей заряд

Теорема Остроградского -Гаусса Для поверхности, не охватывающей заряд, поток через нее будет равен нулю. Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то

Теорема Остроградского -Гаусса Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, тогда

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен по объему V с объемной плотностью. Тогда

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке. При этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е. Величину называют дивергенцией поля..

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса В декартовой системе координат

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса В тех точках поля, где, мы имеем источники поля (т.е. положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна – стоки (отрицательные заряд)

Примеры расчета полей 1. Поле бесконечной равномерно заряженной с поверхностной плотностью плоскости.

Примеры расчета полей Выберем гауссову поверхность в виде цилиндра. При таком выборе вектор напряженности поля перпендикулярен к основаниям цилиндра и одинаков по модулю в каждой точке оснований. Потока через боковую поверхность цилиндра нет. Следовательно

Примеры расчета полей 2. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей.

Примеры расчета полей 3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити). Поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью Гауссову поверхность выберем в виде коаксиальной выберем в виде коаксиальной замкнутой поверхности замкнутой поверхности (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров (основания цилиндров перпендикулярны оси).

Примеры расчета полей Поток отличен от нуля только для боковой поверхности, следовательно При гауссова поверхность охватывает заряд При так как гауссова поверхность не охватывает заряд.

Примеры расчета полей 4. Поле равномерно заряженного с объемной плотностью шара. Гауссову поверхность выберем в виде концентрической сферы. Рассмотрим случай Поверхность охватывает весь заряд, распределенный по шару, следовательно

Примеры расчета полей Вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы. Рассмотрим случай. Гауссову Поверхность выберем снова в виде концентрической сферы концентрической сферы меньшего радиуса. Теперь гауссова поверхность охватывает лишь часть заряда шара. Охваченный поверхностью заряд равен заряд равен где, а где, а

Примеры расчета полей Применим теорему Остроградского-Гаусса Найдем напряженность поля внутри шара

Примеры расчета полей Таким образом для объемно заряженного шара имеем: